资源简介

教师 日期
学生
课程编号 01 课型
课题 几何基础语言及异面直线
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
(1)一个平面：水平放置和直立；
当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.
(2) 直线与平面相交，如图（1）、（2）、（3），：
（3）两个相交平面：
画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）
3平面的画法及其表示方法：
①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等
4空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言（平面外的直线）表示（平面外的直线）表示或
立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
3.空间两条异面直线的画法
4.直线位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③：求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
5．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
6．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【知识拓展】
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
题型一 平面的概念
例1将下列符号语言转化为图形语言：
（1），，，；
（2），，，，
解：
说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）
例2 将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点在平面内，但不在平面内；（2）直线经过平面外一点；
（3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线）
解：（1），； （2），；
（3），（即＝）
例3 在平面内有三点，在平面内有三点，试画出它们的图形
答案：右图
【巩固训练】
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm． （ ）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）
（3）一个平面的面积为20 cm2． （ ）
（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
2．如图所示，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 ；
②直线a在平面内　　　；点C在平面内 ；
③点O不在平面内 ；直线b不在平面内 ．
答案：① ② ③
3．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
答案： ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线
题型二 平面公理
例4 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）
求证：在直线上
证明：∵，∴，，
∵分别属于直线，
∴平面，∴平面，
同理：平面，
又∵平面平面，
所以，在直线上
【巩固训练】
1 下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）
A．∵，∴． B．∵，∴．
C．∵，∴． D．∵，∴．
其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
2．下列推断中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．，且A、B、C不共线重合
3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）
（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）
（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）
（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）
（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）
（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）
5．看图填空
（1）AC∩BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1=
（3）平面A1C1CA∩平面AC=
（4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=
（5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=
（6）A1B1∩B1B∩B1C1=
答案：1. C 2. C 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√
5.⑴O⑵A1B1⑶O⑷OO1⑸B1⑹B1
题型三 平面判定定理
例5.选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）
（A）三角形 （B）菱形 （C）梯形 （D）四边相等的四边形
（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）
（A）一个 （B）四个 （C）六个 （D）八个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要
（4）若a ，b ，∩=c，a∩b=M，则 （ ）
（A）Mc （B）Mc （C）M （D）M
答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A
例6.已知，空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
①E、F、G、H四点共面；
②三直线FH、EG、AC共点．
证明　①连接EF、GH，如图所示，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
又∵CG＝BC，CH＝DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面．
②易知FH与直线AC不平行，但共面，
∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．
例7 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）
求证：在直线上
证明：∵，∴，，
∵分别属于直线，
∴平面，∴平面，
同理：平面，
又∵平面平面，
所以，在直线上
【同步练习】
1．下列命题正确的个数为(　　)
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
题型三 异面直线
例8.如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
答案　45°　60°
解析　∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.
【巩固训练】
1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）
（7）向量与，与是两组方向相同的共线向量，那么． （ ）
答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
答案：（1）C（2）C（3）A（4）D
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
6．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）异面直线a,b满足a,b,∩=，则与a,b的位置关系一定是（ ）
（A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交
（C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行
（3）两异面直线所成的角的范围是 （）
（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
答案（1）D（2）B（3）：C
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）
（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）
（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）
（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）
答案：×，×，√，×
公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”
一．选择题（共12小题）
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）
A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1
【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；
B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；
∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．
故选：D．
　
2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
3．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：可在原图基础上，再向下加一个正方体ABB1A1﹣MNPQ．在连接B1Q，DQ，则∠DB1Q为所求异面直线所成角或其补角．
cos∠DB1Q===0
所以，∠DB1Q=90°，即AC与B1D所成的角的大小为90°．
故选D
　
4．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示；
PA、PB、PC相较于一点P，且PA、PB、PC不共面，
则PA、PB确定一个平面PAB，
PB、PC确定一个平面PBC，
PA、PC确定一个平面PAC．
故选：C．
　
5．“直线l与平面l∩α=P相交于点P”用集合语言表示为　l∩α=P　．
【解答】解：直线l与平面α相交于点P，用集合语言表示为l∩α=P；
故答案为：l∩α=P．
　
6．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线　BD　上．
【解答】解：∵点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直
∴E平面ABD，H平面ABD，可得直线EH平面ABD，
∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，
∴F平面BCD，G平面BCD，可得直线FG平面BCD，
因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，
∵平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点M直线BD．
故答案为：BD．
　
7．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是　③　．
【解答】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，
故正确命题的序号是③，
故答案为：③
　
8．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有　1或3　条．
【解答】解：当三个平面有公共的一条交线时，
显然满足题意，此时交线只有一条；
当该三个平面为三棱锥的三个侧面时，
此时，交线则有3条，
故答案为：1或3．
　
9．如图，三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K．求证：
（1）EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；
（2）EF∥HG．
【解答】证明：（1）∵E、H分别是棱AB、AD上的点，
∴EH平面ABD
又∵EHFG=K，∴KEH，即K平面ABD
同理可证，K平面BCD
∵平面ABD∩平面BCD=BD∴KBD
即EH，BD，FG三条直线相交于同一点K．
（2）连接EF，HG（如图），
∵在△ABC中，E，F分别是棱AB，BC的中点，
∴EF∥AC
∵EF平面ACD，
∴EF∥平面ACD
又∵H，G分别是棱AD，CD的点，且EH∩FG=K，
∴E，F，G，H，K共面于平面EFK，
且平面EFK∩平面ACD=HG
故EF∥HG
10．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q；
（1）点B，D，F，E是否共面？并说明理由；
（2）若直线A1C与平面BDEF的交点为R证明：点P，Q，R共线．
【解答】解：（1）点B，D，F，E共面．
证明：由于CC1和BF在同一平面内，且不平行，故必相交，
设交点为O，则OC1=CC1，
同理，直线DE与CC1与相交，设交点为O1，则O1C1=CC1，
故O与O1重合，得DE与BF交于O，故B，D，F，E共面．
（2）在正方体AC1中，连接PQ，
∵QA1C1，
∴Q平面A1C1CA，又QEF，
∴Q平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，
同理P是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ，
∵CA∩平面BDEF=R，
∴RCA，R平面A1C1CA，R平面BDEF，
故点P，Q，R共线．教师 日期
学生
课程编号 01 课型
课题 几何基础语言及异面直线
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
(1)一个平面：水平放置和直立；
当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.
(2) 直线与平面相交，如图（1）、（2）、（3），：
（3）两个相交平面：
画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）
3平面的画法及其表示方法：
①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画
②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等
4空间图形是由点、线、面组成的
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言（平面外的直线）表示（平面外的直线）表示或
立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
3.空间两条异面直线的画法
4.直线位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③：求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
5．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
6．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【知识拓展】
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
题型一 平面的概念
例1将下列符号语言转化为图形语言：
（1），，，；
（2），，，，
例2 将下列文字语言转化为符号语言：
（1）点在平面内，但不在平面内；（2）直线经过平面外一点；
（3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线）
例3 在平面内有三点，在平面内有三点，试画出它们的图形
【巩固训练】
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm． （ ）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）
（3）一个平面的面积为20 cm2． （ ）
（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）
2．如图所示，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 ；
②直线a在平面内　　　；点C在平面内 ；
③点O不在平面内 ；直线b不在平面内 ．
3．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
题型二 平面公理
例4 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）
求证：在直线上
【巩固训练】
1 下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A．∵，∴． B．∵，∴．
C．∵，∴． D．∵，∴．
2．下列推断中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．，且A、B、C不共线重合
3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）
（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）
（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）
（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）
（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）
（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）
5．看图填空
（1）AC∩BD=
（2）平面AB1∩平面A1C1=
（3）平面A1C1CA∩平面AC=
（4）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=
（5）平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=
（6）A1B1∩B1B∩B1C1=
题型三 平面判定定理
例5.选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）
（A）三角形 （B）菱形 （C）梯形 （D）四边相等的四边形
（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）
（A）一个 （B）四个 （C）六个 （D）八个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要
（4）若a ，b ，∩=c，a∩b=M，则 （ ）
（A）Mc （B）Mc （C）M （D）M
例6.已知，空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
①E、F、G、H四点共面；
②三直线FH、EG、AC共点．
【同步练习】
1．下列命题正确的个数为(　　)
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
题型三 异面直线
例8.如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
【巩固训练】
1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）
（7）向量与，与是两组方向相同的共线向量，那么． （ ）
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a 平面，b 平面且a∩b=Φ
③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使a 且b 成立
上述结论中，正确的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）异面直线a,b满足a,b,∩=，则与a,b的位置关系一定是（ ）
（A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交
（C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行
（3）两异面直线所成的角的范围是 （）
（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）
（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）
（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）
（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）
公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”
一．选择题（共12小题）
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）
A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1
　
2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
3．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（　　）
A．B．C．D．
4．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
5．“直线l与平面l∩α=P相交于点P”用集合语言表示为　 　．
　
6．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线　 　上．
　
7．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点
②经过空间任意三点有且只有一个平面
③过两平行直线有且只有一个平面
④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是　 　．
　
8．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有　 　条．
　
9．如图，三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K．求证：
（1）EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；
（2）EF∥HG．
10．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q；
（1）点B，D，F，E是否共面？并说明理由；
（2）若直线A1C与平面BDEF的交点为R证明：点P，Q，R共线．

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