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《直线方程》专题5-1 直线的位置关系（基础）
（4套，6页，含答案）
知识点：
直线关系判断： 斜截式方程一般式方程， ， ，，重合相交
另外要讨论斜率不存在的情况。
典型例题：
已知直线L1：x＋my＋6＝0，直线L2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值， 使得L1和L2：
(1) 相交； (2) 垂直； (3) 平行； (4) 重合。（[endnoteRef:0]）
[0: 答案：时，相交，垂直，时平行，时，重合；]
直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（[endnoteRef:1] ）
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定 [1: 答案：B；]
随堂练习：
直线L1：(－1)x＋y＝2与直线L2：x＋(＋1)y＝3的位置关系是(　[endnoteRef:2]　)
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 [2: 答案：A；
　[化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]]
两条直线3x＋2y＋m＝0和的位置关系是（[endnoteRef:3] ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．与m有关 [3: 答案：B；]
过点E(1，1)和点F(－1，0)的直线与过点M(－，0)和点N(0，)(k≠0)的直线的位置关系是(　[endnoteRef:4]　)
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 [4: 答案：C；
[解析]　kEF＝＝，kMN＝＝，又当k＝2时，EF与MN重合．]
知识点：
相交（求交点）： 两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解。 ①若方程组有 唯一解 ，则这两条直线 相交 ，此解就是交点的坐标； ②若方程组 无解 ，则两条直线 无公共点 ，此时两条直线平行.
典型例题：
过两直线L1：x－2y＋4＝0和L2：2x＋y＋3＝0的交点和原点的直线方程为( [endnoteRef:5] )．
[5: 答案：]
知识点：
两条直线平行与斜率的关系：
(1)对于两条不重合的直线L1，L2，其斜率分别为k1、k2，有L1∥L2 ________．
(2)如果直线L1、L2的斜率都不存在，并且L1与L2不重合，那么它们都与________垂直，故L1____[endnoteRef:6]____L2． [6: 答案：(1)k1＝k2　(2)x轴　∥； ] 求平行直线的方法： （1）斜截式，设所求直线的K与已知直线的相等； （2）一般式，设所求直线的A、B与已知直线的相等；
典型例题：
直线x＋m2y＋6＝0与直线（m－2）x＋3my＋2m＝0 没有公共点，求实数m的值. （[endnoteRef:7]） [7: 答案：0，－1；]
写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2，5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．[endnoteRef:8] [8: 答案：y－5＝2(x－2)，y－(－1)＝0；
解　(1)由题意知，直线的斜率为2，
所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．
]
过点(1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程是（ [endnoteRef:9] ） [9: 答案：； ]
随堂练习：
满足下列条件的直线L1与L2，其中L1∥L2的是(　[endnoteRef:10]　)
①L1的斜率为2，L2过点A(1，2)，B(4，8)
②L1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，L2平行于x轴，但不经过P点；
③L1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，L2经过点R(－4，3)，S(0，5)．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ [10: [答案]　B；
]
已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　[endnoteRef:11]　)
A．2 B．1 C．0 D．－1 [11: [答案]　B；
[解析]　根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1＝a，k2＝2－a.两直线平行，则有k1＝k2.
所以a＝2－a，解得a＝1.
]
已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　[endnoteRef:12]　)
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 [12: 答案：D；
　[当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD．]]
求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线L的方程．[endnoteRef:13] [13: 答案：3x－4y－12＝0；
[解析]　解法1：由题意知：可设L的方程为3x－4y＋m＝0，
则L在x轴、y轴上的截距分别为－，.
由－＋＝1知，m＝－12.
∴直线L的方程为：3x－4y－12＝0.
解法2：设直线方程为＋＝1，
由题意得 解得.
∴直线L的方程为：＋＝1.
即3x－4y－12＝0.
]
知识点：
垂直：
(1)如果直线L1、L2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么L1⊥L2 __________．
(2)如果两条直线L1、L2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么L1与L2的位置关系是____[endnoteRef:14]____． [14: 答案：(1)k1k2＝－1　(2)垂直；]
典型例题：
已知直线L与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线倾斜角是( [endnoteRef:15] ) [15: 答案：45°；]
垂直于直线x＋3y－5＝0， 且过点P(—1，0)的直线方程是 [endnoteRef:16] [16: 答案：；]
如果直线(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0互相垂直，则a的值等于（ [endnoteRef:17] ）
A． 2 B．－2 C．2，－2 D．2，0，－2 [17: 答案：C；]
随堂练习：
有以下几种说法：(L1、L2不重合)
①若直线L1，L2都有斜率且斜率相等，则L1∥L2； ②若直线L1⊥L2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是(　[endnoteRef:18]　)
A．1 B．2 C．3 D．0 [18: 答案：B；
　[①③正确，②④不正确，L1或L2可能斜率不存在．]]
直线L1、L2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则L1与L2的位置关系是（ [endnoteRef:19] ）
A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直
[19: 答案：D；]
若直线x＋ay＋2＝0和2x＋3y＋1＝0互相垂直，则a等于 [endnoteRef:20] [20: 答案：；]
已知三点A(m－1，2)、B(1，1)、C(3，m2－m－1)，若AB⊥BC，求m的值. [endnoteRef:21] [21: 答案：m＝2或m＝－3；
参考答案与解析:解:设AB、BC的斜率分别为k1、k2，则.
又知xa－xb＝m －2，
①当m－2＝0，即m＝2时，k1不存在，此时， k2＝0，则AB⊥BC.
②当m－2≠0，即m≠2时，.
由，得m＝－3，
故若AB⊥BC，得m＝2或m＝－3.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
]
以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（　[endnoteRef:22]　）
A.3x－y－8＝0 B .3x＋y＋4＝0 C. 3x－y＋6＝0 D. 3x＋y＋2＝0 [22: 答案：B；]
原点O在直线L上的射影为点Ｈ(－2， 1)，则直线L的方程为[endnoteRef:23] .
[23: 答案：2x－y＋5＝0；]
《直线方程》专题5-2 直线的位置关系（基础）
直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是(　[endnoteRef:24]　)
A.相交 B.平行 C.重合 D.垂直 [24: 答案：A；
[解析]　A1B2－A2B1＝×1－1×(－1)＝＋1≠0，
又A1A2＋B1B2＝×1＋(－1)×1＝－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直．]
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)L1：2x－y＋3＝0，L2：x＋2y－1＝0；
(2)L1：3x＋4y＋2＝0，L2：6x＋8y＋3＝0；
(3)L1：x－y＋1＝0，L2：2x－2y＋2＝0.（[endnoteRef:25]） [25: 答案：相交，交点为(－1，1)，平行，重合；
[解析]　(1)解方程组得
所以直线L1与L2相交，交点坐标为(－1，1)．
(2)解方程组
①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．
所以直线L1与L2无公共点，即L1∥L2.
(3)解方程组
①×2得2x－2y＋2＝0.
因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以直线L1与L2重合．
]
两条直线x＋my＋12＝0，2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值是___[endnoteRef:26]_____． [26: [答案]　±6；
[解析]　设交点坐标为(0，b)，则有解得m＝±6.
]
下列各组中的两条直线平行的有(　[endnoteRef:27]　) A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
(1)2x＋y－11＝0，x＋3y－18＝0；
(2)2x－3y－4＝0，4x－6y－8＝0；
(3)3x－4y－7＝0，12x－16y－7＝0；
[27: [答案]　B；
[解析]　第一组相交，第二组重合，第三组平行，故选B.
]
（全国押1503）（文）已知直线3x＋4y－3＝0，6x＋my＋14＝0平行，则m＝ [endnoteRef:28] ． [28: 答案：8；
由题意得；]
直线L1：x＋a2y＋6＝0和直线L2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是([endnoteRef:29] ) [29: 答案：－1或0；]
求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程[endnoteRef:30] . [30: 答案：15x＋5y＋16＝0；]
以A(－1，1)、B(2，－1)、C(1，4)为顶点的三角形是( [endnoteRef:31] )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 [31: 答案：C；
解析：kAB＝，kAC＝
∵kAB·kAC＝
∴AB⊥AC且A为直角
]
（2018湖北文G54）已知倾斜角为的直线L与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos2θ的值为（ [endnoteRef:32]）
A． B． C． D． [32: 答案：B；]
直线(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a值是(　[endnoteRef:33]　)
A．－ B. C. D.
[33: 答案：B；
[解析]　由(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0得a＝.]
已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线L1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线L2互相垂直，则实数a的值为（ [endnoteRef:34]）。 [34: 答案：解：L1的斜率k1＝
当a≠0时，L2的斜率k2＝
∵L1⊥L2 ∴k1·k2＝－1，即a×＝－1 得a＝1
当a＝0时，P（0，－1），Q（0，0），这时直线L2为y轴，A（－2，0）、B（1，0），这时直线L1为x轴，显然L1⊥L2
综上可知，实数a的值为1和0。
]
过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　[endnoteRef:35]　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0 [35: [答案]　B；
[解析]　由得交点(－1，4)．
∵所求直线与3x＋y－1＝0垂直，
∴所求直线斜率k＝，∴y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
]
《直线方程》专题5-3 直线的位置关系（基础）
下列直线中，与直线x＋3y－4＝0相交的直线为( [endnoteRef:36] )
A.x＋3y＝0 B. C. D. [36: 答案：C；]
直线ax＋3y－5＝0经过点(2，1)，则a的值等于(　[endnoteRef:37]　)
A．2 B．1 C．0 D．－1 [37: [答案]　B；
[解析]　由题意得2a＋3－5＝0，解得a＝1.
]
两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( [endnoteRef:38] )
A.－24 B.6 C.±6 D.不同于A、B、C的答案 [38: 答案：C ；]
两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是（ [endnoteRef:39] ）
A m＝1 B m＝±1 C D
[39: 答案：D；]
直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则a的值是 [endnoteRef:40] .
[40: 答案：－3；]
直线与直线3mx＋(m－2)y－6m＝0平行，则m的值为___ [endnoteRef:41]　 [41: 答案：0，3 ；]
已知直线L过直线L1：3x－5y－10＝0和L2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于L3：x＋2y－5＝0，则直线L的方程是________[endnoteRef:42]______． [42: 答案：8x＋16y＋21＝0；]
已知直线L1的倾斜角为60°，直线L2经过点A(1，)，B(－2，－2)，
则直线L1，L2的位置关系是____[endnoteRef:43]____． [43: 答案：平行或重合；
解析　由题意可知直线L1的斜率k1＝tan 60°＝，
直线L2的斜率k2＝＝，
因为k1＝k2，所以L1∥L2或L1，L2重合．
]
与直线垂直的直线的倾斜角为 [endnoteRef:44] [44: 答案：；]
已知直线L1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线L2经过两点(2，1)、(6，y)，且L1⊥L2，则y＝(　[endnoteRef:45]　)
A．2 B．－2 C．4 D．1
[45: 答案：D；
[解析]　∵L1⊥L2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故选D.]
如果直线(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0互相垂直，则a的值等于（ [endnoteRef:46] ）
A． 2 B．－2 C．2，－2 D．2，0，－2
[46: 答案：C；]
经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(　[endnoteRef:47]　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 [47: 答案：A；
　[首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0．]]
《直线方程》专题5-4 直线的位置关系（基础）
两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为(　[endnoteRef:48]　)
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 [48: 答案：D；]
过原点和直线L1：x－3y＋4＝0与L2：2x＋y＋5＝0的交点的直线的方程为___[endnoteRef:49]_____． [49: [答案]　3x＋19y＝0；
[解析]　由得交点坐标(－，)，
∴所求方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
]
若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　[endnoteRef:50]　)
A．－2 B．－ C．2 D. [50: [答案]　B；
[解析]　由得交点(－1，－2)，
代入x＋ky＝0得k＝－，故选B.
]
经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝_____[endnoteRef:51]___. [51: [答案]　4；
[解析]　由题意，得tan45°＝，解得a＝4.
]
若直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为(　[endnoteRef:52]　)
A. B.或0 C．0 D．－2 [52: [答案]　B；
[解析]　由已知得1×(－a)－2a(a－1)＝0，即2a2－a＝0，解得a＝0或，故选B.
]
已知一条直线经过点P(1，2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是___[endnoteRef:53]___． [53: 答案：y－2＝2(x－1)；]
已知四边形ABCD的顶点为，B(－2，2)，，D(4，2)，求证:四边形ABCD为矩形. ([endnoteRef:54]) [54: 答案：证明略；
参考答案与解析:证明:，，，，
∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
又，
∴AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程]
已知L1⊥L2，直线L1的倾斜角为45°，则直线L2的倾斜角为(　[endnoteRef:55]　)
A．45° B．135° C．－45° D．120° [55: 答案：B；]
已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( [endnoteRef:56] )
A.2 B.1 C.0 D.－1 [56: 答案：D；
解析：由题知(a＋2)a＝－1?a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1，故选D.也可用代入检验. ]
已知直线与直线垂直，求a的值．（[endnoteRef:57]） [57: 答案：1，－1；]
直线L过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则L的方程是(　[endnoteRef:58]　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 [58: 答案：A；
　[由题意知，直线L的斜率为－，因此直线L的方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0．]]

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