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《直线方程》专题2-1 斜率、倾斜角（基础）
（8套，9页，含答案，1-7页基础，8—9页中下）
知识点：
（1）倾斜角 ①对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角； ②关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。 ③倾斜角的取值范围是 ④直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 （2）斜率
①直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α时， k与α的关系是 ；α时，直线斜率 ；
②经过两点P1(x1，y1)P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 ；
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 常用数据识记 记住以下数据，解题的时候速度更快。 倾斜角0斜率 01不存在
（4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知，若，则有A、B、C三点共线。
（5）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k＝tanα来求斜率； （6）判别以下取值范围：
①两向量夹角的取值范围： ； ②空间两直线夹角的取值范围： ；
③两异面直线夹角的取值范围： ； ④直线与平面夹角的取值范围： ；
⑤二面角的取值范围： ； ⑥平面直线倾斜角的取值范围： ；
（答案：（1）[endnoteRef:0]（2）[endnoteRef:1]（3）（4）（5）[endnoteRef:2] ） [0: 答案：[00，1800)，；] [1: 答案：，不存在；；] [2: 答案：[0°，180°]，[0°，90°]，（0°，90°]，[0°，90°]，[0°，180°]，[0°，180°）；]
典型例题1：
直线的倾斜角的取值范围是（[endnoteRef:3]　　）
A.0°≤α＜180° B.0°≤α＜180°且α≠90° C.0°≤α＜360° D.0°≤α≤180° [3: 答案：B；]
已知直线的倾斜角为135°，则此直线的斜率是[endnoteRef:4] .
[4: 答案：-1；]
若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（　[endnoteRef:5]　） [5: 答案：30°；]
直线x＝3的倾斜角是（ [endnoteRef:6] ） A.0 B. C. D.不存在 [6: 答案：B；]
随堂练习1：
对于下列命题
①若α是直线L的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是(　[endnoteRef:7]　) A.1 B.2 C.3 D.4 [7: 答案：C；
　[①②③正确．]]
直线x y 3 ＝ 0的倾斜角是[endnoteRef:8]（ ） [8: 答案：45°；]
已知m0，则过点（1，－1）的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率是_____[endnoteRef:9]______。 [9: 答案：；]
过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为(　[endnoteRef:10]　)
A．x＝1 B．x＝3 C．y＝1 D．y＝3 [10: 答案：A；
]
斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　[endnoteRef:11]　)
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3 C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3 [11: 答案：C；
　[由题意，得即
解得a＝4，b＝－3．]
]
判别以下取值范围：
①两向量夹角的取值范围： ； ②空间两直线夹角的取值范围： ；
③两异面直线夹角的取值范围： ； ④直线与平面夹角的取值范围： ；
⑤二面角的取值范围： ； ⑥平面直线倾斜角的取值范围： [endnoteRef:12] ； [12: 答案：[0°，180°]，[0°，90°]，（0°，90°]，[0°，90°]，[0°，180°]，[0°，180°）；]
典型例题2：
图甲中的直线L1，L2，L3的斜率分别为k1，k2，k3，则( [endnoteRef:13] )．
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 　　　　　C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
[13: 答案：D；]
如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第（[endnoteRef:14] )象限． [14: 答案：3；]
已知三点A(1，3)，B(5，11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上．[endnoteRef:15] [15: 答案：[证明]　由斜率公式，得
kAB＝＝2，kAC＝＝2，
∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，
∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A，
∴A，B，C这三点在同一条直线上．]
随堂练习2：
直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为α，斜率为k，则（ [endnoteRef:16] ）
A ksinα＞0 B kcosα＞0 C ksinα0 D kcosα≤0 [16: 答案：B；]
在同一直角坐标系中，如图中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( [endnoteRef:17] )
[17: 答案：C；
解析：当a＞0时，A、B、C、D均不成立；当a＜0时，只有C成立，故选C. ]
过不同的两点，的直线L的倾斜角为45°，则m为（ [endnoteRef:18] ） [18: 答案：-2；]
下列三点能构成三角形的三个顶点的为( [endnoteRef:19] )
A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(－1，4)，(2，1)，(－2，5)
C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，－1)，(3，3)，(5，7) [19: 答案：C； ]
下列说法正确的是（ [endnoteRef:20] ）
A、若直线L1与L2的斜率相等，则L1∥L2； B、若直线L1∥L2，则L1与L2的斜率相等；
C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D、若直线L1与L2的斜率都不存在，则L1∥L2 [20: 答案：C；]
《直线方程》专题2-2 斜率、倾斜角（基础）
求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．
(1)A(0，－1)，B(2，0)； (2)P(5，－4)，Q(2，3)； (3)M(3，－4)，N(3，－2)．[endnoteRef:21] [21: 答案：[解析]　(1)kAB＝＝，
∵kAB>0，
∴直线AB的倾斜角是锐角．
(2)kPQ＝＝－，
∵kPQ<0，∴直线PQ的倾斜角是钝角．
(3)∵xM＝xN＝3，
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角．
]
当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12 （[endnoteRef:22]） [22: 答案：m＝－2；
由题意得kAB＝＝12，解得m＝－2.
故当且仅当m＝－2时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12.
]
斜率不存在的直线一定是(　[endnoteRef:23]　)
A．过原点的直线 B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线 D．垂直于过原点的直线 [23: 答案：B；]
若直线L的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线L不经过(　[endnoteRef:24]　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [24: 答案：D；]
三点A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是____[endnoteRef:25]____． [25: 答案：b≠；
[解析]　由题意得kAB≠kAC，则≠，整理得b≠.]
下列命题中正确是（ [endnoteRef:26] ） A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④
①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα；
②直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
③任意一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率；
④上述三个命题都不正确
[26: 答案：C；]
《直线方程》专题2-3 斜率、倾斜角（基础）
直线L的倾斜角α＝135°，则其斜率k等于(　[endnoteRef:27]　)
A. B. C．－1 D．1 [27: 答案：C；
[解析]　k＝tanα＝tan135°＝－1.]
当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是60°？（[endnoteRef:28]） [28: 答案：m＝－；
由题意得kAB＝tan60°＝＝，
解得m＝－.
故当且仅当m＝－时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°.]
没有斜率的直线一定是( [endnoteRef:29] )
A.过原点的直线 B.垂直于x轴的直线 C.垂直于y轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线 [29: 答案：B；]
直线＋＝1过一、二、三象限，则(　[endnoteRef:30]　)
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 [30: 答案：C；]
若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)共线，则m的值为 [endnoteRef:31] ． [31: 答案：；]
下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角； ②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是(　[endnoteRef:32]　) A．0 B．1 C．2 D．3 [32: 答案：B；]
《直线方程》专题2-4 斜率、倾斜角（基础）
直线L的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则L的斜率为(　[endnoteRef:33]　)
A．1 B. C. D．－ [33: 答案：B；
[解析]　∵tanα＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝.故选B.]
已知两点P(m，2)，Q(1＋m，2m－1)所在直线的倾斜角为45°，则m的值等于____[endnoteRef:34]____． [34: 答案：2；
[解析]　由题意知k＝tan45°＝1.由斜率公式得＝1，解得m＝2.]
直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(　[endnoteRef:35]　)
A.45°，1 B.135°，－1 C.90°，不存在 D.180°，不存在 [35: 答案：C；
参考答案与解析:解析：易知倾斜角为90°,当倾斜角为90°时,斜率不存在.
答案：C
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
]
直线L1：ax－y＋b＝0，L2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是下图中的(　[endnoteRef:36]　)
[36: 答案：B；
[解析]　l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像不符合．在B选项中，由l1的图像知a>0，b<0，判知l2的图像符合，在C选项中，由l1知a<0，b>0，∴－b<0，排除C；在D选项中，由l1知a<0，b<0，由l2知a>0，排除D.所以应选B.]
已知三点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一直线上，a的值为[endnoteRef:37] [37: 答案：2，；]
①直线L的倾斜角是α，则L的斜率为tanα；
②直线L的斜率为－1，则其倾斜角为45°；
③与坐标轴平行的直线没有倾斜角；
④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．
上述命题中，正确的个数为(　[endnoteRef:38]　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [38: [答案]　B；
[解析]　由倾斜角和斜率的定义知，当倾斜角α＝90°时，则l的斜率不存在，故①是错误的；因为tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1，所以当k＝－1时，α＝135°，故②是错误的；与y轴平行的直线倾斜角为90°，故③也是错误的；因而只有④是正确的，即正确的个数为1个，故选B.]
《直线方程》专题2-5 斜率、倾斜角（基础）
如右图所示，直线L的倾斜角是(　[endnoteRef:39]　)
A．0° B．90° C．∠CAB D．∠OAB [39: 答案：C；]
设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为____[endnoteRef:40]____． [40: 答案：(－5,0)；
[解析]　设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2×，解得x＝－5.]
若直线x＝－3的倾斜角为 α，则α[endnoteRef:41]( )．
A．等于0 B．等于 C．等于 D．不存在 [41: 答案：C；]
直线L的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线L过原点和二、四象限，则(　[endnoteRef:42]　)
A．C＝0，B＞0 B．A＞0，B＞0，C＝0 C．AB＜0，C＝0 D．AB＞0，C＝0 [42: 答案：D；]
若a∈N，又三点A(a，0)，B（0，a＋4），C（1，3）共线，求a的值。（[endnoteRef:43]） [43: 答案：2，-2；]
在下列叙述中：
①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα；
②若直线斜率k＝－1，则它的倾斜角为135°；
③若A(1，－3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.
所有正确命题的序号是_____[endnoteRef:44]______. [44: 答案：②③④；
参考答案与解析:【探究】 ①当α=90°时，斜率k不存在，故错误；
②倾斜角的正切值为-1时，倾斜角为135°，故正确；
③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故正确；
④直线过定点(1，2)，斜率为1，又，故直线必过(3，4)，命题正确；
⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1，1)与(5，4)两点，命题错误.]
《直线方程》专题2-6 斜率、倾斜角（中下）
典型例题（共线，范围，两直线夹角，综合辨析）：
斜率k的变化范围是，则其倾斜角的变化范围是（[endnoteRef:45] ）
A. B. C. D. [45: 答案：D；]
已知点A(2，－3)、B(－3，－2)直线L过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线L的斜率的取值k范围是（　[endnoteRef:46] ）
A、或 B、或 C、 D、
[46: 答案：A；]
设直线L过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线L1，那么L1的倾斜角为(　[endnoteRef:47]　)
A．α＋45° B．α－135° C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° [47: 答案：D；
　[因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
]
随堂练习：
已知θ∈R，则直线的倾斜角的取值范围是（ [endnoteRef:48] ） [48: 答案：；]
经过点P（0，－2）作直线m，若直线m与A（－2，3），B（2，1）的线段总没有公共点，则直线m斜率的取值范围是 [endnoteRef:49] . [49: 答案：； ]
已知两条直线L1：y＝x；L2：ax－y＝0（a∈R），当两直线夹角在（0，）变动时，
则a的取值范围为 [endnoteRef:50] 。 [50: 答案：；]
《直线方程》专题2-7 斜率、倾斜角（中下）
已知点A（，1），点B在y轴上，若直线AB的倾斜角为1200，则B点的坐标是____[endnoteRef:51]_____。 [51: 答案：(0,-2)；]
如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．[endnoteRef:52]
[52: 答案：αAD＝αBC＝60°，αAB＝αDC＝0°，αAC＝30°，αBD＝120°．
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－；]
直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是(　[endnoteRef:53]　)
[53: 答案：B；
　[两直线的方程分别化为斜截式：y＝x－n，
y＝x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．]
]
已知直线L1的倾斜角 1＝15°，直线L1与L2的交点为A，把直线L2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线L1重合时所转的最小正角为60°，则直线L2的斜率k2的值为 [endnoteRef:54] ． [54: 答案：-1；]
直线x＋ysin－3＝0(∈R)的倾斜角的取值范围是[endnoteRef:55] . [55: [答案]；
[解析]若，则直线的倾斜角为90°；若，则直线的斜率k＝设直线的倾斜角为，则，故
，综上可得直线的倾斜角的取值范围是.
[考点]直线的倾斜角与斜率的关系.
]
《直线方程》专题2-8 斜率、倾斜角（中下）
△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．（[endnoteRef:56]） [56: 答案：kAB＝－，kAC＝；
解　如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴kAB＝tan 150°＝－，kAC＝tan 30°＝.
]
直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　[endnoteRef:57]　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
[57: 答案：D；
　[由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去)．]]
直线L1：ax－y＋b＝0，L2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　[endnoteRef:58]　)
[58: 答案：C；
　[将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得C．]]
若直线到直线x－ay＝0的角为，则实数a的值等于（ [endnoteRef:59] ）
A．0 B． C．0或 D． [59: 答案：C；]
若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为___[endnoteRef:60]____． [60: 答案：(－2,1)； ]

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