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外接球——心有所依模型（圆锥、正棱锥）
一、知识要点：公式：
特征：几何体的高经过底面的外心
方法：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
二、例题精讲：
例1、如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球（其中球心在圆锥内），则球的表面积为　　
A． B． C． D．
例2、三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
例3、在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例4、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16π B． C．8π D．
三、习题精练：
1、已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2、一块边长为的正方形铁片如图所示，将它的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积　　
A． B． C． D．
3、已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为　　．
4、如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5、已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6、已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球的表面积为　　．
7、已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8、圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
B． C． D．
9、已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是(　　)
A．3π B． C．2π D．
10、已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．外接球——心有所依模型（圆锥、正棱锥）
一、知识要点：公式：
特征：几何体的高经过底面的外心
方法：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
例题精讲：
例1、如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球（其中球心在圆锥内），则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的底面圆心为，连接，，
，
，
设球的半径为，则，解得，
所以球的表面积．
故选：．
例2、三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：
于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，
在中，，由余弦定理有，即，
则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，
因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，
同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，
又，则，解得，
设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，
则球O的表面积为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：
例题3、在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设点G为的外心，则平面，
由，
∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，
由正弦定理得，在中，，
由勾股定理得，即，解得．
正三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．
例题4、已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16π B． C．8π D．
【答案】B
【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，
则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，
于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的体积是．
故选：B
三、习题精练：
1、已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是，设外接球的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，
最大体积对应的高为，故，即，解之得，
所以外接球的体积是，故答案为D．
2、一块边长为的正方形铁片如图所示，将它的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可知正四棱锥的底面边长为6，斜高为5，（如图）
从而可得正四棱锥的高，
底面外接圆．
正四棱锥的外接球的半径，
解得，
可得外接球的表面积．
故选：．
3、已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的3倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为　　．
【解答】解：设，球的半径为，则，由球的表面积为，得．
在△中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为．
故答案为：．
4、如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，
易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D选项．
5、已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，
底面正方形的边长为，，
正四棱锥的体积为，，
则，，
在中由勾股定理可得：，解得，，故选C．
6、已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为，则球的表面积为　　．
【解答】解：设圆锥的底面半径，则，
，
圆锥的侧面积为，
解得．
圆锥的高为9，
设球的半径为，
，
由勾股定理得：，
解得，
球的表面积为：．
故答案为：．
7、已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设底面边长为，侧棱长为，
因为底面面积为6，所以，得，
因为侧面积为，
所以，解得，
连接交于点，连接，则可得平面，，
所以四棱锥的高，
点在上，连接，设球的半径为，则
，解得，
所以球的体积为，
故选：A
练习8、圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,
则圆锥的体积为,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展开整理得R=所以外接球的体积为,
故所求体积比为
故选A
9、已知正三棱锥，底面是边长为3的正三角形ABC，，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则截面面积的最小值是(　　)
A．3π B． C．2π D．
【答案】B
【解析】
分析：记的中心为M，则球心O在直线SM上，在中，由勾股定理可得，在中，可得，要使截面面积最小当且仅当截面与垂直时，进而利用垂径定理可得截面圆半径，从而得解.
详解：记的中心为M，则球心O在直线SM上，.
设外接球O的半径为R，
在中，，即，解得.
过点E作三棱锥外接球O的截面,要使截面面积最小当且仅当截面与垂直时.
在中，，
设截面圆的半径为，则.
截面面积为.
故选B.
10、已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径，
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，，
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，，
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是．
故选：C．

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