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外接球——汉堡模型（圆柱、直棱柱）
一、知识要点：（特征：一条棱垂直于底面）——公式：
方法：第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
二、例题精讲：
例1、已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于　　 ．
【解答】解：设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，
设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，
直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，
在中，，，
由余弦定理得：，，
由正弦定理得：，，
在中，，，，
，
直三棱柱的外接球的表面积为：，
故答案为：．
例2、在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为，
故选：C
例3、设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，因为，
所以，，
而，所以（于是是外接圆的半径），，即，
如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，
，
所以外接球为．
于是球的表面积为．
故选：C．
例4、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
三、习题精练：
1、表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．
【答案】4
【解析】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则，解得，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得．
故答案为：4．
2、已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【答案】
【解析】
由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论，
【详解】
设正三棱柱上下底面中心分别为，连，
取中点为正三棱柱外接球的球心，
连为外接球的半径，如图，
，
设正三棱柱的底面边长为x，
，在中，
，
三棱柱的所有棱长之和为．
，
令，解得，
当时，，当时，，
所以是函数在定义域内有唯一极大值点，
故当时，有最大值．
故答案为： ．
3、在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【解析】设BC的中点为D，的中点为，，
由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，
由三棱柱的体积为2，得，即，
由题，得，
所以，外接球表面积
．
故答案为：
4、已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
5、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示，作边上的中点，边上的中点，连接
平面，可得：，
可得：为球的球心，为球的半径
在直角三角形中，可得：
在直角三角形中，可得：
故球的表面积为：
故选：D
6、已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为_______，异面直线，所成角的余弦值为________．
【答案】 ；
【解析】由外接球表面积可知，解得，所以球的体积，
如图，设球心为，为中点，为中心，连接，，
因为为中心，球心为，所以平面，又平面，
所以，由可知，异面直线，所成角为，
在中，，
故答案为：；．
7、已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则为圆柱的外接球球心，球的半径为，
可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：
由正弦定理可知圆的直径为，
所以，三棱锥外接球的半径，
因此，三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
8、已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在中，由余弦定理得：，
，
外接圆半径，又平面，
三棱锥的外接球半径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：A．
9、已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为．
故选：B
10、已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因平面，平面，则，而，
则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，
连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，
则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选：C
11、三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，，
因此三角形外接圆半径为，
设外接球半径为，则，，故选D．
12、如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，
设三棱锥外接球的球心为，
外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，
由，，及，得，∴外接球半径为，
∴该球的表面积．故选A．
13、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
平面，、平面，
，，
，，，
又，，即，
取中点，则为的外心，设球的半径为，三角形的外接圆半径为，
则，，
球的表面积为．
故选：．
14、正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．
【详解】
根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它
的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离就
是球的半径，三棱柱的底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中
点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为，
∴球的半径为r．
外接球的表面积为：4πr2＝5π．
故答案为C
15、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，与平面所成的角为，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由平面，得平面平面，
取中点，连接，，则，可得平面，
则，
，，得，求得，则为底面三角形的外心，
过作底面，且在球内部），则为三棱锥的外接球的球心，
可得．
球的表面积为．
故选：．
16、在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.
【详解】
如图所示，设，由的面积为2，得，
因为，外接圆的半径，
因为平面，且，
所以到平面的距离为，
设球的半径为R，则，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.
17、直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，可得，可得的最大值.
【详解】
解：由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，
，
，，当且仅当时取等号.
故选.
18、已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.
详解：设BC=a,,则ab=.
底面三角形外接圆的半径为r,则
所以
所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为
故答案为D
19、已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）
A． B．2 C．4 D．不是定值
【答案】A
【详解】
直三棱柱中，，取的中点为，的中点为，连接，取的中点为，则为直三棱柱外接球的球心.
由外接球的表面积为，设球半径为，则，所以.
由分别为棱上的动点，且，所以经过点，即直线经过球心，所以截得的线段长为球的直径.
故选A.
20、已知三棱锥中，，，，则点到平面的距离为 　 　，该三棱锥的外接球的体积为 　 　．
【解答】解：如图所示，因为，可得DA⊥AB，DA⊥AC，
又因为AB∩AC＝A，所以AD⊥平面ABC，
由AB＝AC＝AD＝2，可得，
取BC的中点E，连接AE和DE，
在直角△BDE中，可得，且DE⊥BC，
设A到平面BCD的距离为h，
又由VB﹣ACD＝VA﹣BCD，
即，
解得，即点A到平面BCD的距离为；
在△ACD中，，
设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，可得外接圆的直径为，
可得r＝2，即AO1＝2，
设外接球的球心为O，半径为R，因为AD⊥平面ABC，且AD＝2，可得OO1＝1，
在直角△AOO1中，可得，可得，
所以外接球的体积为．
故答案为：；．外接球——汉堡模型（圆柱、直棱柱）
一、知识要点：（特征：一条棱垂直于底面）——公式：
方法：第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
二、例题精讲：
例1、已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于　　 ．
例2、在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3、设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例4、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
三、习题精练：
1、表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．
2、已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
3、在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
4、已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
5、《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
B． C． D．
6、已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为_______，异面直线，所成角的余弦值为________．
7、已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
8、已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9、已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
B． C． D．
10、已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
11、三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）
B． C． D．
12、如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
B． C． D．
13、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　
B． C． D．
14、正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）
B． C． D．
15、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，与平面所成的角为，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
16、在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17、直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
18、已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19、已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）
A． B．2 C．4 D．不是定值
20、已知三棱锥中，，，，则点到平面的距离为 　 　，该三棱锥的外接球的体积为 　 　．

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