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外接球——垂面模型
一、知识要点：公式：
方法：
第一步：分别取两垂面的外心、的外心和其交线的中点,球心，垂径定理得
第二步：算出、的外接圆半径，由于垂面易得是个矩形得
第三步：勾股定理：
二、例题精讲：
例1、在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________．
【答案】
【解析】取的中点，连，如图：
依题意可知，，
因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，
所以平面，所以，，，
因为，且，所以平面，所以，
因为为的中点，所以，
所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，
所以其表面积为．
故答案为：
例2、在三棱锥中，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
解法一：三棱锥中，若球是三棱锥的外接球，
如图所示：
在平面中，过点作于点，由于平面平面，
故平面，
所以，由于．
故平面，
所以．
由于，，
故，
所以，
进一步求出，
设的中心为，设，
利用，
解得，
所以该三角形的中心在三角形的外部，
即，
由于三角形为直角三角形，点为的中点，
所以，
过点作平面，
所以，
即外接球的半径为，
故．
故选：．
方法二：由于平面平面可直接用公式：由于,，所以面的外接圆半径由勾股定理可求出，所以是的等腰三角形，所以面的外接圆半径；两垂面的交线 ；带入公式得：故．
故选：．
例3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，可知，
又，，所以，故，
取的中点，则，，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
设的外接圆的圆心为，
则在的延长线上，因为，，
所以，所以，
设为的外接圆的圆心，
则为的中点，，
连结，，由球的性质可知，平面，
所以，，
同理可得，，，
所以四边形为正方形，
所以球的半径为，
所以，
则球的体积为．
故选：．
例4、矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　 　．
【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线上，且其半径为长度的一半，
则．
故答案为：．
三、习题精练：
1、如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，，点，，，，，在同一个球面上，则该球的体积是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
连接，交与，则，
连接、，设，则，
连接，则，，
平面平面，平面平面，
平面，则，
即为点，，，，，所在球的球心，半径．
所求球的体积是．
故选：．
2、已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由为直角三角形，可知中点为外接圆的圆心，又平面平面，所以球心在过与平面垂直的直线上，且球心为的外心.利用正余弦定理求出外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.
【详解】
解：取中点，过点做直线垂直，因为为直角三角形，所以点为外接圆的圆心，又平面平面，所以平面，根据球的性质，球心一定在垂线上，且球心为的外心.
在中，，
所以，则外接圆的半径为
即外接球的半径为，所以体积为.
故选：D
3、已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，
根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：．
4、在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【解析】如图，设的外接圆的圆心为
连接，，，连接．
由题意可得，且，．
因为平面平面，且，
所以平面，且．
设为三棱锥外接球的球心，
连接，，，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，
即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
5、在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，面的外心为，
则，，
在直角三角形中，．
而，解得，则，解得，
故答案为：．
6、在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，
设 的外心是，半径是，连接，，，
由正弦定理得，
则，
为 的中点，，
，所以，
因为平面平面， 于，平面平面，
则平面，所以直线 与平面 所成的角是，则
，即，
因为，所以
，则，故，
设三棱锥 外接球球心是，
连接，，，过 作 于，
则平面，于是，从而 是矩形，
所以外接球半径 满足
，
解得．
所以外接球的表面积为．
故选：．
7、如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】取的中点，连接，
中，，，，，
设的中心为，球心为，则，
设到平面的距离为，则，
，，
四棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
8、如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.
【答案】 ； .
【解析】在直角梯形中，∵，，，
∴，，可得，即，
当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，
取中点E，中点F，连接，，则，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵，，∴，
以E为坐标原点，分别以 所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设异面直线与所成角为，
则 ，
即异面直线与所成角的余弦值为；
显然，又，
所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.
由，解得.
故答案为：① ；② .外接球——垂面模型
一、知识要点：公式：
方法：
第一步：分别取两垂面的外心、的外心和其交线的中点,球心，垂径定理得
第二步：算出、的外接圆半径，由于垂面易得是个矩形得
第三步：勾股定理：
二、例题精讲：
例1、在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________．
例2、在三棱锥中，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
例3、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为　　
A． B． C． D．
例4、矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　 　．
三、习题精练：
1、如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，，点，，，，，在同一个球面上，则该球的体积是　　
A． B． C． D．
2、已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3、已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
4、在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
5、在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
6、在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
7、如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
8、如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.

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