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2022泛非数学竞赛试卷
第一天
题1.△ABC中，AB为最短边，且∠B≠90，H为其垂心.以B为圆心，BA为半径作圆T,
与CA再次相交于点D.设T与⊙(BCD)再次交于点E,DE,BH交于点F.求证：BD与⊙(DFH)
相切。
题2.求所有三元正整数组(a,b,c),其中a≥b≥c,使得a2+3劭，2+3c,c2+3a均为完全平
方数
题3.设n为正整数，正实数列a1,a2,,2n各项来积为2.对k=1,2,,2m,设2m+k=@k
并定义
1十ak十akak+1十：十aak+1,ak+n-2
Ae=i+a啡+a4+1++a01；…a+2-
已知A,A2,,An两两互异，证明其中恰有一半小于√2-1.
第二天
题4.求所有定义城为正实数的函数∫，9，使得对任意，>0，均有以下两个等式成立：
(f(x)+y-1)(g)+x-1)=(x+)2
(-f(x)+)(g()+x)=(x+y+1)(y-x-1)
题5.设r为正整数，求最小的正整数m,使得对集合{1,2，，m}的任一划分A1,A2,,A,一
定存在整数k,以及a,b∈A,使得1≤：≤1+：
注：集合{1,2，，m}的划分A1,A2,,Ar,指对任意i≠j,A,∩A=0,且UAk={1,2,,m}
=1
题6.是否存在正整数m1,n2,,n202，使得
(n2020+n2019）(n2020+n2019）…(n202+n282)(n22+n2019）
为11的幂？

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