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《圆锥曲线》专题28－1 利用原始定义分析最值
（6套，4页，含答案）
知识点：
利用原始定义求最值： 解析几何中，涉及都线段相加减的最值，如果该线段一个端点是焦点，则多数可以利用原始定义来进行转换，分析最值。
典型例题1：
椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)，B（3，4），点P在椭圆上，
（1）|PF1|＋|PA|的最大值为______，最小值为[endnoteRef:0]_______；
（2）|PF1|＋|PB|的最大值为______，最小值为[endnoteRef:1]_______； [0: 答案：11，9；] [1: 答案：14，；]
随堂练习1：
已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，则周长最小值为 。当周长最小时，该三角形的面积为[endnoteRef:2] ．（第二问选做） [2: 答案：32，；]
M的轨迹方程：，，，，求的最大值．（[endnoteRef:3]） [3: 答案：，；
；
解:（1）设点M的坐标是，P的坐标是－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1f
因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，为PD上一点，由条件得：，且－－－2f
∵在圆上，∴，整理得，－－4f
即M轨迹是以为焦点的椭圆－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5f
由椭圆的定义可知， －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6f
(2)由(1)知， －－－－－－－－9f
当三点共线，且在延长线上时，取等号．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－11f
直线，联立，－－－－－－－－－－－－－－－12f
其中，解得－－－－－－－－13f
即所求的的坐标是.－－－－－－－－－－－－－－14f]
P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ [endnoteRef:4] ） A. 6 B.7 C.8 D.9 [4: 答案：D；]
典型例题2：
已知点F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当最小时，M点坐标是 ( [endnoteRef:5] ) A. B. C. D. [5: 答案：C；]
已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是 [endnoteRef:6] . [6: 答案：2；
【解析】设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；
到直线的距离
则
当时，到直线和的距离之和的最小值为2
]
随堂练习2：
记定点与抛物线 上的点P之间的距离为 ，P到此抛物线准线L的距离为 ，则当 取最小值时P点的坐标为（　[endnoteRef:7]）
　　A．（0，0）　　B．　　C．（2，2）　　D．
[7: 答案：C；]
已知抛物线：和直线L：．若在抛物线上存在一动点，设点到轴的距离为，到直线L的距离为，则的最小值为[endnoteRef:8] ．
[8: 答案：；
【解析】由题意，抛物线的焦点为，联立得，，所以直线与抛物线无交点．由抛物线的定义得点到轴的距离为即该点到焦点的距离减去，所以的最小值即焦点到直线的距离减去，即．
]
《圆锥曲线》专题28－2 利用原始定义分析最值
若A点坐标为（1，1），F1是5x2＋9y2＝45椭圆的左焦点，点P是椭圆动点，则|PA|＋|P F1|最小值
是 [endnoteRef:9]
[9: 答案：；]
已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ [endnoteRef:10] ）
A． B． C． D．
[10: 答案：B；]
设抛物线E：的焦点为F，点M为抛物线E上一点，｜MF｜的最小值为3，
若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（[endnoteRef:11]）
（A）4＋　　　（B）7 （C）4＋2　　　　（D）10 [11: 答案：B；
]
《圆锥曲线》专题28－3 利用原始定义分析最值
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值[endnoteRef:12]． [12: 答案：－2，1；
解析：　(1)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3
＝x2＋(1－)－3＝x2－2，∵x∈[－2，2]，
∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
]
以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值
为 [endnoteRef:13] [13: 答案：9；]
设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ [endnoteRef:14] ） A．2 B． C． D．3 [14: 答案：A；]
《圆锥曲线》专题28－4 利用原始定义分析最值
设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m，的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为[endnoteRef:15]　　． [15: 答案：；]
已知双曲线，点P为双曲线上动点，求的最大值及此时点P的坐标．（[endnoteRef:16]） [16: 答案：2，；
解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，
则，所以轨迹L的方程为．
（2）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得
解得或，此时，
所以最大值等于2，此时．
]
已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为____[endnoteRef:17]____． [17: 答案：　；
解析：　
如图，过点Q作QA垂直准线l，垂足为A，则QA与抛物线的交点即为P点．
易求P.]
《圆锥曲线》专题28－5 利用原始定义分析最值
设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），
则|PM|＋|PF1|的最大值为 [endnoteRef:18] . [18: 答案：15；
【解析】|PF1|＋| PF2|＝10，|PF1|＝10－| PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－| PF2|.
易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－| PF2|取最大值|MF2|，
故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝.
]
设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．[endnoteRef:19] [19: 答案：－y2＝1，2，点P；
解析：　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2＞4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为.]
已知抛物线 ，则P到这两条直线的距离之和的最小值为（ [endnoteRef:20] ） A. 2 B. C. D.
[20: 答案：D；]
《圆锥曲线》专题28－6 利用原始定义分析最值
已知A(4， 0)， B(2， 2)为椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最小值是（ [endnoteRef:21] ） （A）10＋2 （B）10＋ （C）10－2 （D）10－ [21: 答案：C；]
（限理科）已知直线l过抛物线E：的焦点F且与x轴垂直，l与E所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（ [endnoteRef:22]） 　
（A）6　　　（B）4＋2　　　（C）7　　　（D）4＋2
[22: 答案：C；]
在上有一点P，它到A（2，10）的距离与它到焦点的距离之和最小，则P的坐标为（[endnoteRef:23]）
　　A．（－2，8）　B．（2，8）　C．（－2，－8）　D．（－2，8）
[23: 答案：B；]

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