资源简介

教师 日期
学生
课程编号 06 课型 暑假专题
课题 平行垂直综合应用
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1.两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，
叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
2．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．
3．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
证明：假设直线不平行与平面，
∵，∴，
若，则和矛盾，
若，则和成异面直线，也和矛盾，
∴．
4. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
证明：∵，∴和没有公共点，
又∵，∴和没有公共点；
即和都在内，且没有公共点，∴．
题型一 选择
【例1】
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
A． B．
C． D．
　
2．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
3．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
4．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
5．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（　　）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A．① B．①② C．①②③ D．②③
　
题型二 简答
【例2】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．
【例3】在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．
【例4】如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
1．如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．2
2．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a B．b∥a且b α C．a与b异面 D．a与b不相交
　
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）
A．有无数条，不一定在平面α内 B．只有一条，不在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内 D．只有一条，且在平面α内
4．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（　　）
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
5．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
　
6．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．
7．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．教师 日期
学生
课程编号 06 课型 暑假专题
课题 平行垂直综合应用
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1.两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，
叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
2．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．
3．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：．
证明：假设直线不平行与平面，
∵，∴，
若，则和矛盾，
若，则和成异面直线，也和矛盾，
∴．
4. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
推理模式：．
证明：∵，∴和没有公共点，
又∵，∴和没有公共点；
即和都在内，且没有公共点，∴．
题型一 选择
【例1】
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意，
故选：A．
　
2．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的为（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
对于（2），由异面直线的定义可知：
EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
故选：A．
3．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH，
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，∴EF∥平面BCD，
∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，故选C．
4．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；
对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；
对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内故选C．　
5．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（　　）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A．① B．①② C．①②③ D．②③
【解答】解：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE．
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣FDE的体积达到最大．
故选C
　
题型二 简答
【例2】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，
且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，FG∥BC，
所以FG⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【例3】在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=2，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（2）证明：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA 平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC 平面PAB，AB 平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC 平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，得EF=．
则V=．
【例4】如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=DE．
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
因为FG 平面BEF，AO 平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V= S△DEF×AB=（12分）
“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．
1．如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2x，HG=2（1﹣x）
SEFGH=FG×HG=4x（1﹣x）
=﹣4（）
=﹣4
根据二次函数的性质可知：SEFGH面积的最大值1．
故选：C．
2．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a B．b∥a且b α C．a与b异面 D．a与b不相交
【解答】解：∵a α，
∴b∥a b∥α，或b α，故A不成立；
b∥a且b α b∥α，故B成立；
a与b异面 b∥α或b与α相交，故C不成立；
a与b不相交 b∥α或b α或b与α相交，故D不成立．
故选：B．
　
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）
A．有无数条，不一定在平面α内 B．只有一条，不在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内 D．只有一条，且在平面α内
【解答】解：证明：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，
∴m∥l且n∥l
由平行公理可得m∥n．
这与两条直线m与n相交于点P相矛盾．
又∵点P在平面内，
∴点P且平行于l的直线有一条且在平面内，
∴假设错误．
所以直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．
故选D．
4．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（　　）
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
【解答】解：在l1上取一点，做直线a，使得a∥l2，
因为l1与a相交，所以确定一个平面，
又因为 a∥l2，
所以l2平行这个平面，
由公理三知满足条件的平面有且只有一个．
故选B．
5．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）
又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC（5分）
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴（2分）
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN 平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）
∴GF∥AC，
又AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE（9分）
（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）
又平面ABED⊥平面ABC，CN 平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）
∵C﹣ABED是四棱锥，
∴VC﹣ABED==（14分）
　
6．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．
【解答】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，
在矩形ABCD中，CD⊥AD，
又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD，
∵PC 平面PCD，∴AE⊥PC
（2）解：
取AP中点M，连接MF，MG，ME．
在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点
则ME为△PAD的中位线∴，
又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，
又MF 平面AEC，EC 平面AEC，∴MF∥平面AEC，
又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG 平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，
又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，
又∵M为AP中点，∴G为PE中点，
又E为PD中点，∴，即．
7．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥CD，BD⊥PD，
又PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PCD，
又PE 平面PCD中，
∴BD⊥PE，即PE⊥BD；
（2）如图所示，
连接BE，交DM与点F，
∵PE∥平面DMN，
∴PE∥NF又点N为PB中点，
∴点F为BE的中点；∴DF=BE=EF；
又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF是等边三角形，
设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；
∴==．
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．
【解答】证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且，
由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC，
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面ACEF，
又AM 平面ACEF，
所以BC⊥AM．
解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，
所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，
所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，
所以，又CE=a，
所以，
所以．
　
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．
【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，
∴BF⊥AE，BF⊥CE，
∵EB=BC，∴F是CE的中点，
又∵AD⊥平面ABE，AD 平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，BE 平面BCE，
∴AE⊥BE；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，
在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
∴CN=CE．
∵MG∥AE，MG 平面ADE，AE 平面ADE，
∴MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
∴平面MGN∥平面ADE．
又MN 平面MGN，
∴MN∥平面ADE．
故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
　

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