资源简介

教师 日期
学生
课程编号 02 课型 暑假专题
课题 线面平行
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
【知识拓展】
重要结论：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(讲完垂直后补充）
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(讲完垂直后补充）
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(4)如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．
题型一 基础知识点和推理
【例1】
1、下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
2．能保证直线与平面平行的条件是（　　）
A．直线与平面内的一条直线平行
B．直线与平面内的某条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行
D．直线与平面内的所有直线不相交
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
4．如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是（　　）
A．相交 B．n∥α C．n α D．n∥α或n α
5．下列命题，能得出直线m与平面α平行的是（　　）
A．直线m与平面α内 所有直线平行
B．直线m 与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
6．过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（　　）
A．1条 B．2条
C．超过2条但有限 D．无数条
题型二 平行判定-构建三角形
例2 已知：空间四边形中，分别是的中点，求证：．
例3?已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，
求证：b∥平面α
例4. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2，E、F分别为AD1，CD1中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求异面直线EF与B1C1所成角的大小．
【巩固练习】1、如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1
2．如图，四棱锥A﹣DBCE中，底面DBCE为平行四边形，F为AE的中点，求证：AB∥平面DCF．
3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点．求证：A1C∥平面BDC1．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，BQ⊥AD，线段PC上是否存在点M，使得PA∥平面MQB？
题型二 平行判定-构建平行四边形
例5、如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．求证：BE∥平面PDA；
【巩固练习】1、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；
【巩固练习】1、已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别是AB、B1C1的中点．求证：直线EF∥平面ACC1A1；
例6．已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
题型三 平行性质定理
【例7】
1．若直线平行于平面，则下列结论错误的是　　
A．直线上的点到平面的距离相等
B．直线平行于平面内的所有直线
C．平面内有无数条直线与直线平行
D．平面内存在无数条直线与直线成角
2．如图，四棱锥的底面是平行四边形，、分别为线段、上一点，若，且平面，则　　
A． B． C． D．
3．在四面体中，底面，，，，为的重心，为线段上一点，且平面，则线段的长为　　
A． B． C．4 D．
4．能保证直线与平面平行的条件是　　
A．，
B．，，，
C．，，，，，且
D．，，
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．
1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
2．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ）
3．选择题
（1）直线与平面平行的充要条件是（ ）
（A）直线与平面内的一条直线平行
（B）直线与平面内的两条直线平行
（C）直线与平面内的任意一条直线平行
（D）直线与平面内的无数条直线平行
（2）直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线 （ ）
（A）只有一条，但不一定在平面内
（B）只有一条，且在平面内
（C）有无数条，但都不在平面内
（D）有无数条，且都在平面内
（3）若a，b，a∥，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥”，则条件甲是条件乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）无数个 （D）以上都有可能
4．平面与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面
5．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，
求证：EF∥平面ACD.
6．经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B
7．选择题
（1）直线a，b是异面直线，直线a和平面平行，则直线b和平面的位置关系是（ ）
（A）b （B）b∥ （C）b与相交 （D）以上都有可能
（2）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面
（A）只有一个 （B）恰有两个
（C）或没有，或只有一个 （D）有无数个
8．判断下列命题的真假.
（1）若直线l，则l不可能与平面内无数条直线都相交. （ ）
（2）若直线l与平面不平行，则l与内任何一条直线都不平行 （ ）
9．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点
（1）求证：平面；
（2）若，，
求异面直线与所成的角的大小
10．如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且求证：平面
1．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a B．b∥a且b α C．a与b异面 D．a与b不相交
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．
（1）求证：直线EG∥平面BDD1B1．
3.在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是
　　
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为　　
A． B．1 C．2 D．
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．求证：FG∥平面PBD；
6.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点．
求证：MN∥平面ABCD．
7.如图所示，已知OA⊥ ABCD所在的平面，P、Q分别是AB，OC的中点，
求证：PQ∥平面OAD．教师 日期
学生
课程编号 02 课型 暑假专题
课题 线面平行
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
【知识拓展】
重要结论：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(讲完垂直后补充）
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(讲完垂直后补充）
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(4)如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．
题型一 基础知识点和推理
【例1】
1、下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
【解答】解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面∴A不正确；
∵点在直线上时，不能确定平面，∴B不正确；
∵梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，∴C正确；
∵过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，∴D不正确．
故选：C．
2．能保证直线与平面平行的条件是（　　）
A．直线与平面内的一条直线平行
B．直线与平面内的某条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行
D．直线与平面内的所有直线不相交
【解答】解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．
B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．
C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．
D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．
故选：D．
3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点
∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点
从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交
故选：D．
4．如果直线m∥直线n，且m∥平面α，那么n与α的位置关系是（　　）
A．相交 B．n∥α C．n α D．n∥α或n α
【解答】解：∵直线m∥直线n，且m∥平面α，
∴当n不在平面α内时，n∥平面α，
当n在平面α内时，n α．
故选：D．
5．下列命题，能得出直线m与平面α平行的是（　　）
A．直线m与平面α内 所有直线平行
B．直线m 与平面α内无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
【解答】解：A命题本身说法错误．
B当直线m在平面α内，m与α不平行．
C项能推出m与α平行．
D项，当直线m在平面α内满足，m与α不平行．
故选：C．
6．过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（　　）
A．1条 B．2条
C．超过2条但有限 D．无数条
【解答】解：过平面外一点作该平面的平行平面，有且只有1个，
在这个平行平面上过这个点的直线有无数条，这些直线都与原平面平行．
故选：D．
题型二 平行判定-构建三角形
例2 已知：空间四边形中，分别是的中点，求证：．
证明：连结，在中，
∵分别是的中点，
∴，，，
∴．
例3?已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，
求证：b∥平面α
证明：过a作平面β交平面α于直线c
∵a∥α∴a∥c 又∵a∥b ∴b∥c，∴b∥c
∵ bα, cα，∴b∥α.
例4. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2，E、F分别为AD1，CD1中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求异面直线EF与B1C1所成角的大小．
【解答】证明：（1）连接AC，∵E、F分别为AD1、CD1中点，
∴EF∥AC，
又∵EF 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（2）∵EF∥AC，B1C1∥BC，
∴两异面直线EF与B1C1所成角为∠ACB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴两异面直线EF与B1C1所成角的大小为45°．
【巩固练习】1、如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1
【解答】
证明：连结B1C，BC1，交于点E，连结DE，
∵D是点D是AB的中点，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，
∴E是BC1的中点，∴DE∥AC1，
∵DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
2．如图，四棱锥A﹣DBCE中，底面DBCE为平行四边形，F为AE的中点，求证：AB∥平面DCF．
【解答】证明：连结BE，交CD于O，连结OF．
∵四边形DBCE是平行四边形，∴O是BE的中点．
又F是AE的中点，
∴OF∥AB，
又OF 平面DCF，AB 平面DCF，
∴AB∥平面DCF．
3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点．求证：A1C∥平面BDC1．
【解答】证明：由（1）知BFC1GA1C，
∵A1C 平面BDC1，BF 平面BDC1．
∴A1C∥平面BDC1．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，BQ⊥AD，线段PC上是否存在点M，使得PA∥平面MQB？
【解答】解：当M为PC的靠近P的三等分点时，PA∥平面MQB．
证明如下：连接AC交BQ于N，连接MN．
∵∠BAD=60°，BQ⊥AD，
∴AQ=ABcos60°=AB=，
∴Q为AD的中点．
∵AQ∥BC，
∴△AQN∽△CBN，
∴=，
∴．又=，
∴，∴MN∥PA，
又MN 平面MQB，PA 平面MQB，
∴PA∥平面MQB．
题型二 平行判定-构建平行四边形
例5、如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．求证：BE∥平面PDA；
【解答】证明：∵CE∥PD，BC∥AD，
CE∩BC=C，PD∩AD=D，
CE、BC 平面BCE，PD、AD 平面PDA，
∴平面BCE∥平面ADP，
∵BE 平面BCE，
∴BE∥平面PDA．
【巩固练习】1、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；
【解答】证明：取PC的中点G，连结EG、FG，
∵F，G分别是PD、PC的中点，∴FGCD，
∵ABCD，E是AB的中点，∴AECD，
∴FGAE，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG，
∵AF 平面PCE，EG 平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
【巩固练习】1、已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别是AB、B1C1的中点．求证：直线EF∥平面ACC1A1；
【解答】（1）证明：设BC的中点为G，连接EG．
∵E、G分别是AB、BC的中点，则EG∥AC，
∴EG∥平面ACC1A1，同理FG∥平面ACC1A1．
又∵EG∩FG=G，则平面EGF∥平面ACC1A1，
∵EF 平面EGF，
∴EF∥平面ACC1A1…（12分）
例6．已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．
证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，
∵∥平面，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，
∴∥，又∵∥，
所以，∥．
题型三 平行性质定理
【例7】
1．若直线平行于平面，则下列结论错误的是　　
A．直线上的点到平面的距离相等
B．直线平行于平面内的所有直线
C．平面内有无数条直线与直线平行
D．平面内存在无数条直线与直线成角
【解答】解：由直线平行于平面，知：
在中，直线上的点到平面的距离相等，故正确；
在中，直线与平面内的所有直线平行或异面，故错误；
在中，平面内有无数条直线与直线平行，故正确；
在中，平面内存在无数条直线与直线成角，故正确．
故选：．
2．如图，四棱锥的底面是平行四边形，、分别为线段、上一点，若，且平面，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接交于点，连接交于点，
由平面，可得，
，
，
为的中点，
作，
，
，，
，故选：．
3．在四面体中，底面，，，，为的重心，为线段上一点，且平面，则线段的长为　　
A． B． C．4 D．
【解答】解：如图，延长交于点，
过点作，交于点，
过点作，交于点，
则平面平面，又平面，
平面，
又，
，
，
，
．
4．能保证直线与平面平行的条件是　　
A．， B．，，，
C．，，，，，且 D．，，
【解答】解：在中，，，则直线与平面平行或，故错误；
在中，，，，，则直线与平面平行或，故错误；
在 中，，，，，，且，则直线与平面平行、相交或，故错误；
在中，，，，由此利用线面平行的判定定理得直线与平面平行．
故选：．
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．
故选：B．
“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．
1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
答案：(1) A (2) D (3) C (4)C
2．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ）
答案：(1) 真 (2) 假 (3) 假 (4)真
3．选择题
（1）直线与平面平行的充要条件是（ ）
（A）直线与平面内的一条直线平行
（B）直线与平面内的两条直线平行
（C）直线与平面内的任意一条直线平行
（D）直线与平面内的无数条直线平行
（2）直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线 （ ）
（A）只有一条，但不一定在平面内
（B）只有一条，且在平面内
（C）有无数条，但都不在平面内
（D）有无数条，且都在平面内
（3）若a，b，a∥，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥”，则条件甲是条件乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）无数个 （D）以上都有可能
答案：（1）D（2）B（3）A（4）D
4．平面与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面
略证：AD∶DB=AE∶EC
5．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，
求证：EF∥平面ACD.
略证：E、F分别是AB、BC的中点
6．经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B
略证：
7．选择题
（1）直线a，b是异面直线，直线a和平面平行，则直线b和平面的位置关系是（ ）
（A）b （B）b∥ （C）b与相交 （D）以上都有可能
（2）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面
（A）只有一个 （B）恰有两个
（C）或没有，或只有一个 （D）有无数个
答案：（1）D (2)A
8．判断下列命题的真假.
（1）若直线l，则l不可能与平面内无数条直线都相交. （ ）
（2）若直线l与平面不平行，则l与内任何一条直线都不平行 （ ）
答案：（1）假 (2)假
9．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点
（1）求证：平面；
（2）若，，
求异面直线与所成的角的大小
略证（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即异面直线与成的角
10．如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且求证：平面
略证：作分别交BC、BE于T、H点
从而有MNHT为平行四边形
1．已知直线a，b，平面α，满足a α，则使b∥α的条件为（　　）
A．b∥a B．b∥a且b α C．a与b异面 D．a与b不相交
【解答】解：∵a α，
∴b∥a b∥α，或b α，故A不成立；
b∥a且b α b∥α，故B成立；
a与b异面 b∥α或b与α相交，故C不成立；
a与b不相交 b∥α或b α或b与α相交，故D不成立．
故选：B．
2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．
（1）求证：直线EG∥平面BDD1B1．
【解答】证明：（1）如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB，又SB 平面BDD1B1，
EG不在平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1．
3.在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是
　　
A． B． C． D．
【解答】解：连结，、，设，连结，
在正方体中，为的中点，
是中点，，
平面，平面，
平面．
故选：．
4．如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为　　
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：如图所示，
正方体中，连接，，交于点，则点满足条件；
证明如下，连接，交于点，连接，，
则，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，且平面，
平面；
同理，平面，
当在直线上时，都满足；
是最大值．
故选：．
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．求证：FG∥平面PBD；
【解答】证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，
∴FG∥PE，FG 平面PBD，PE 平面PBD，
∴FG∥平面PBD
6.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点．
求证：MN∥平面ABCD．
【解答】证明：取BB1的中点P，连结MP、NP，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B、CC1的中点，
∴MP∥A1B1∥AB，NP∥BC，
∵MP∩NP=P，AB∩BC=B，
MP、NP 平面MNP，AB、BC 平面ABCD，
∴平面MNP∥平面ABCD，
∵MN 平面MNP，∴MN∥平面ABCD．
7.如图所示，已知OA⊥ ABCD所在的平面，P、Q分别是AB，OC的中点，
求证：PQ∥平面OAD．
【解答】证明：取OD中点G，连接AG、QG，
因为EF分别为AB、PC的中点，
所以AP=AB，GQ∥DC且GQ=DC，
又在平行四边形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
所以AP∥GQ且AP=GQ，
所以四边形APQG是平行四边形，
所以AG∥PQ且AG=PQ
又，AG 平面OAD，PQ 平面OAD．
所以PQ∥平面OAD．

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