资源简介

教师 日期
学生
课程编号 05 课型 暑假专题
课题 面面垂直
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
一、面面垂直
1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。
2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
题型一 基础
【例1】
1．设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，且，，则；
④若，且，则．
其中所有正确命题的序号是　　
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】解：由，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，知：
在①中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；
在②中，若，，则与相交、平行或异面，故②错误；
在③中，若，且，，则与相交或平行，故③错误；
在④中，若，且，则由线面垂直的性质定理得，故④正确．
其中所有正确命题的序号是①④．
故选：．
2．空间四边形中，若，，那么有　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解，，
平面
又在平面内，
平面平面
故选：．
3．下列命题中错误的是　　
A．如果，那么内一定存在直线平行于平面
B．如果，那么内所有直线都垂直于平面
C．如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面
D．如果，，，那么
【解答】解：如果，则内与两平面的交线平行的直线都平行于面，故可推断出命题正确．
选项中内与两平面的交线平行的直线都平行于面，故命题错误．
根据平面与平面垂直的判定定理可知命题正确．
根据两个平面垂直的性质推断出命题正确．
故选：．
4．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是　　
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【解答】解：由平面，得，
由四边形为矩形得，
从而有平面，平面，
所以平面平面．
故选：．
5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是　　
①面面
②面面
③面面
④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解答】证明：由于，由垂直于正方形所在平面，所以，
易证平面，则平面平面；又，故平面，
则平面平面．
故选：．
6．如图，已知四边形是正方形，平面，则图中所有互相垂直的平面共有　　
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【解答】解：平面，平面，
平面平面，
同理可得平面平面，平面平面，
平面，平面，
，又，，
平面，又平面，
平面平面，
同理可得平面平面．
平面，平面，
，又，，
平面，又平面，
平面平面．
平面，平面，
，又，，
平面，又平面，
平面平面．
综上，共有7对平面互相垂直．
故选：．
题型二 面面垂直判定
【例2】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．
取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME平面PAB，PA平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE平面PAB，AB平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM平面CME，∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，
∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，∵BD平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【例3】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，
∴AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
∵A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，
∴DE∥A1C1F；
（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
∵DE∥A1C1，
∴DE⊥平面AA1B1B，
又∵A1F平面AA1B1B，
∴DE⊥A1F，
又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D平面B1DE，
∴A1F⊥平面B1DE，
又∵A1F平面A1C1F，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F．
【例4】在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设平面平面，求证：．
【解答】证明：（1）在中，由余弦定理，得：，
，，
平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面，又平面，
平面平面．
（2），平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
．
【例5】如图，在三棱锥中，，是上的点，且．
（1）若是的中点，求证：直线平面；
（2）若，求证：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，在中，，且，
所以，点是的中点，
又因为是的中点，
故，
又因为平面，平面，
故直线平面，
（2）因为，在中，，且是的中点，
故，
又因为，且，
故平面．
又因为平面，
故平面平面．
　
题型三 面面垂直性质
【例6】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（1）证明：BM⊥平面SMC；
（2）设三棱锥C-SBM与四棱锥S-ABCD的体积分别为V1与V，求的值．
【解答】解：（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，
SM平面SAD，SM⊥AD
∴SM⊥平面ABCD，（1分）
∵BM平面ABCD，∴SM⊥BM．（2分）
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AM=AB，DM=DC，
∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，
∴∠AMB=∠CMD=45°，∠BMC=90°，BM⊥CM．（4分）
∵SM平面SMC，CM平面SMC，SM∩CM=M，
∴BM⊥平面SMC（6分）
（2）三棱锥C﹣SBM与三棱锥S﹣CBM的体积相等，
由（1）知SM⊥平面ABCD，
得，（9分）
设AB=a，由CD=3AB，AM=AB，DM=DC，
得，
从而．（12分）
　
【例7】在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D﹣ACF的体积．
【解答】解：（1）∵平面AC2=AE2+CE2平面，
∴AE⊥EC，且平面ACE∩平面，
AE⊥ECBF，BC⊥AC，
BC平面BCEF，
∴BC⊥平面AEC．
∴BC⊥AE，
又，AE=EC=1，
∴AC2=AE2+CE2
∴AE⊥EC
且BC∩EC=C，
∴AE⊥平面ECBF．
（2）设AC的中点为G，连接EG，∵AE=CE，∴EG⊥AC
由（1）知BC⊥平面AEC，∴BC⊥EG，即EG⊥BC，
又AC∩BC=C，∴EG⊥平面ABCD
EF∥BC，EF平面ABCD，
所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离
即点F到平面ABCD的距离为EG的长
∴，
∵
∴，
即三棱锥D﹣ACF的体积为．
　
【例8】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．
【解答】证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．
因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP∥A1B1，NP=A1B1．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1=AB．
故NP∥AB，且NP=AB．
因为M为AB的中点，所以AM=AB．
所以NP=AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP．
因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C．
（2）因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB．
因为CC1=CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC．
因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC=BC．
CN平面CC1B1B，
所以CN⊥平面ABC．
因为AB平面ABC，所以CN⊥AB．
因为CM平面CMN，CN平面CMN，CM∩CN=C，
所以AB⊥平面CMN．
【例9】如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解答】证明：（1）取的中点，连接，，
，分别是和的中点，，，
是的中点，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
（2），是的中点，
，
又侧面底面，侧面底面，平面，
平面．
一．选择题（共6小题）
1．下列命题中错误的是（　　）
A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
【解答】解：对于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ，命题正确；
对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β=a，作直线b∥a，且bα，则b∥β，命题正确；
对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；
对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确．
故选：C．
　
2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的（　　）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若α∥β，mβ，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
【解答】解：A中α与γ可以平行，也可以相交，C中可能有mβ，
D中m与n可以平行、相交或异面．故选B
　
3．l、m是空间两条直线，α、β是空间两个平面，则（　　）
A．l∥m，lα，mβ，则α∥β B．l⊥m，lα，mβ，则α⊥β
C．α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m D．l⊥α，l∥m，mβ，则α⊥β
【解答】解：A．若l∥m，lα，mβ，则α∥β或α与β相交，故A错误
B．若l⊥m，lα，mβ，则α⊥β或α与β相交，故B错误
C．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m或l，m相交，或异面直线，故C错误
D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α，∵mβ，∴α⊥β成立，故D正确
　
4．若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（　　）
A．a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=A
B．a⊥b，b∥α
C．a∩b=A，bα，a⊥b
D．α∥b，b⊥a
【解答】解：a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=A，满足定理的条件，所以A正确；a⊥b，b∥α，a⊥α是不一定，所以不正确；a∩b=A，bα，a⊥b及α∥b，b⊥a都不正确
故选A
　
5．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；
故选B
　
6．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（　　）
A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD
【解答】解：对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，
且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥AB，又AB⊥AD，AB⊥平面PAD，
所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥BC又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；
对于D，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，故D正确；
故选C．
　
　
　
二．解答题（共7小题）
7．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，
∵E和F分别是BC和A1C的中点，
∴EF∥A1B，
又∵A1B平面A1B1BA，
EF平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AE，
又∵BC∩BB1=B，
∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE平面AEA1，
∴平面AEA1⊥平面BCB1；
　
8．如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD平面FGH，MH平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴，
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．
∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．
9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA平面DEF，DE平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
　　
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面B1BCC1，
∵AB平面ABE，
∴平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，
∵E是A1C1的中点，
∴FG∥EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG，
∵C1F平面ABE，EG平面ABE，
∴C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=，
∴VE﹣ABC===．
11．如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解答】证明：（1），平面，平面，
平面．
（2）平面平面，平面平面，，
平面，
又，
平面，又平面，
平面平面．
12．如图，在三棱锥中，，，平面平面，，分别为，中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，分别为，中点．
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为，为中点，所以，
又平面平面，
平面平面，平面，
故平面，
因为平面，
所以．
因为，，
因此．
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
13．如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
【解答】证明：（1），分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2），，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
，，
，
又平面，平面，，
平面，又平面，
平面平面．教师 日期
学生
课程编号 05 课型 暑假专题
课题 面面垂直
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
一、面面垂直
1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。
2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
题型一 基础
【例1】
1．设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，且，，则；
④若，且，则．
其中所有正确命题的序号是　　
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．空间四边形中，若，，那么有　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
3．下列命题中错误的是　　
A．如果，那么内一定存在直线平行于平面
B．如果，那么内所有直线都垂直于平面
C．如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面
D．如果，，，那么
4．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是　　
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是　　
①面面
②面面
③面面
④面面．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．如图，已知四边形是正方形，平面，则图中所有互相垂直的平面共有　　
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
题型二 面面垂直判定
【例2】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【例3】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
【例4】在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设平面平面，求证：．
【例5】如图，在三棱锥中，，是上的点，且．
（1）若是的中点，求证：直线平面；
（2）若，求证：平面平面．
　
题型三 面面垂直性质
【例6】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM=AB，DM=DC，SM⊥AD．
（1）证明：BM⊥平面SMC；
（2）设三棱锥C-SBM与四棱锥S-ABCD的体积分别为V1与V，求的值．
【例7】在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D﹣ACF的体积．
【例8】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．
【例9】如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
一．选择题（共6小题）
1．下列命题中错误的是（　　）
A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的（　　）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若α∥β，mβ，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
3．l、m是空间两条直线，α、β是空间两个平面，则（　　）
A．l∥m，lα，mβ，则α∥β B．l⊥m，lα，mβ，则α⊥β
C．α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m D．l⊥α，l∥m，mβ，则α⊥β
4．若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（　　）
A．a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=A
B．a⊥b，b∥α
C．a∩b=A，bα，a⊥b
D．α∥b，b⊥a
5．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个　
6．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（　　）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
二．解答题（共7小题）
7．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
8．如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
　　
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．
11．如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
12．如图，在三棱锥中，，，平面平面，，分别为，中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
13．如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
　
　

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