资源简介

教师 日期
学生
课程编号 04 课型 暑假专题
课题 线面垂直
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
线面垂直
1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α
2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
1．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
4.平行线同时垂直平面的定义：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
5.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
6三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
7.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
题型一 基础
【例1】
1．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列命题正确的是　　
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
3．已知直线、和平面、，若，，，要使，则应增加的条件是　　
A． B． C． D．
【例2】
1．如图，在中，面，，是的中点，则图中直角三角形的个数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在中，，为所在平面外一点，平面，则四面体中直角三角形的个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
3．过所在平面外一点，作，垂足为，若，，，则点是的　　
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【例3】
1．下列命题正确的是　　
①平行于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是　　
①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；
②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；
③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
A．①② B．②③ C．只有③ D．只有②
3．已知直线平面，有以下几个判断：
①若，则，
②若，则
③若，则，
④若，则，
上述判断中正确的是　　
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
题型二 线面垂直判定
【例3】 已知：空间四边形，，，求证：
【例4】如图，已知是所在平面外一点，，，是的中点，求证：．
【例5】如图，，分别为正方形和正方形的对角线，，分别是线段，上的点，且，．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
【例6】在正方体中，求证：平面．
【例7】如图，在直三棱柱中，为的中点，点，点分别在和上，且直线平面，，．
（1）求的值；
（2）求证：平面．
题型三 线面垂直性质
【例8】如图，是边长为2的等边三角形，且平面，是的中点，求证：面．
【例9】已知三棱柱，是正三角形，直线平面，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【例10】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
【例11】如图，四棱锥中，已知平面，，，为棱上的一点，经过，，三点的平面与棱相交于点．
（1）求证：平面；（2）求证：；
一．选择题
1．正方体中与垂直的平面是　　
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
2．设平面，且，，相等，则是的　　
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
3．已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则　　
A． B． C． D．
4．下列条件中，能判定直线平面的有　　
A．与平面内的两条直线垂直
B．与平面内的无数条直线垂直
C．与平面内的任意一条直线垂直
D．与平面内的某一条直线垂直
5．若，，表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是　　
A．，，，， B．，
C．，， D．，
6．如图，面，中，则是　　
直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
7．如图，三棱锥中，己知，，，，分別为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）平面．
8．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
9．直三棱柱中，，，分别为，的中点，．
求证：（1）平面；
（2）．
10．如图，四面体中，平面，，，．
（1）证明平面；
（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
1．已知直线平面，，那么过点且垂直于的直线　　
A．只有一条，在平面内
B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，且都在平面内
D．有无数条，不一定都在平面内
2．正方体中，下列结论错误的是　　
A．平面
B．平面
C．
D．异面直线与所成的角是
3．是平面外一点，平面，垂足为，若，，两辆互相垂直，则是的　　
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
4．下列命题正确的是　　
①平行于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
5．一条直线与一个平面垂直的条件是　　
A．垂直于平面内的一条直线
B．垂直于平面内的两条直线
C．垂直于平面内的无数条直线
D．垂直于平面内的两条相交直线
5．已知，是直线，是平面，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
6．垂直于同一平面的两条直线一定　　
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
7．直线垂直于平面内的两条直线，则与的关系是　　
A．垂直 B．平行
C．相交 D．前三者都有可能
8．已知在空间四边形中，，，点为的中点，求证：平面．
9．如图，四边形与均为菱形，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
10．如图三棱锥中，，为的中点，底面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设是棱上的一点，若平面，求的值．教师 日期
学生
课程编号 04 课型 暑假专题
课题 线面垂直
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 20
2 例题解析 60
3 师生总结 10
4 当堂检测 30
5 课后练习 30
……
线面垂直
1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α
2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
1．直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
4.平行线同时垂直平面的定义：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
5.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
6三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
7.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
题型一 基础
【例1】
1．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解答】解：对于，若，，根据线面垂直的性质可得；故正确；
对于，若，，则与可能相交、平行或者异面；故错误；
对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则与相交、平行或，故错误．
故选：．
2．设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列命题正确的是　　
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【解答】解：若，，，则或与相交，故不正确；
若，，，则，由，可得，又因，所以．故正确；
若，，，则不正确，也可能平行；
若，，，则，不正确，可能有；
故选：．
3．已知直线、和平面、，若，，，要使，则应增加的条件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使，
只需在已知直线、和平面、，若，，，则应增加的条件，
故选：．
【例2】
1．如图，在中，面，，是的中点，则图中直角三角形的个数是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：在中，面，，是的中点，
图中直角三角形有：
，，，，，，，共7个．
故选：．
2．如图，在中，，为所在平面外一点，平面，则四面体中直角三角形的个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：在中，，
为所在平面外一点，平面，
，，
，
平面．
四面体中直角三角形有，，，．
故选：．
3．过所在平面外一点，作，垂足为，若，，，则点是的　　
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【解答】解：连接并延长交于一点，连接，由于，，两两垂直可以得到面，而面，，
平面于，面，，平面，面，；
同理可以证明才，又．
是的垂心．
故选：．
【例3】
1．下列命题正确的是　　
①平行于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是　　
①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；
②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；
③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
A．①② B．②③ C．只有③ D．只有②
【解答】解：①过旗杆底部在地面上画一条直线，
则旗杆与该直线不一定垂直，故①错误；
②过旗杆底部在地面上画两条直线，
只有当这两条直线相交，且旗杆与这两条直线都垂直时，
才能使旗杆与水平地面垂直，故②错误；
③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，
拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
由直线与平面垂直的性质知旗杆与水平地面垂直，故③正确．
故选：．
3．已知直线平面，有以下几个判断：
①若，则，
②若，则
③若，则，
④若，则，
上述判断中正确的是　　
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】解：对于①当平面也可以有但不平行于面故①错．
对于②根据线面垂直的性质定理可知②正确．
对于③根据线面平行的性质定理可得存在且而直线平面故可根据再根据线面垂直的定义得出，故正确．
对于④根据直线平面可在平面内找到两条相交直线，且，又所以，故根据线面垂直的判定定理可知，正确．
即②③④正确
故选：．
题型二 线面垂直判定
【例3】 已知：空间四边形，，，
求证：
证明：取中点，连结，
∵，
∴，
∴平面，
又∵平面，
∴．
【例4】如图，已知是所在平面外一点，，，是的中点，求证：．
【解答】证明：如图，
在与中，
，，，
，又为的中点，，，
又，
平面，则．
【例5】如图，，分别为正方形和正方形的对角线，，分别是线段，上的点，且，．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
【解答】解：
（1）证明：取的三等分点，使，
，
，
，
平面，
，
，
平面，
平面平面，
平面；
（2），，
平面，
平面，
，
即
【例6】在正方体中，求证：平面．
【解答】证明：平面，平面，
，
四边形是正方形，
，又平面，平面，，
平面，平面，
，
同理可证：，
又平面，平面，，
面．
【例7】如图，在直三棱柱中，为的中点，点，点分别在和上，且直线平面，，．
（1）求的值；
（2）求证：平面．
【解答】解：（1）直线平面，
直线，
，
，
为的中点，
为的中点，
；
证明：（2），，，
平面，
平面，
，
，
，，
平面．
题型三 线面垂直性质
【例8】如图，是边长为2的等边三角形，且平面，是的中点，求证：面．
【解答】证明：是等边三角形，是的中点，
．
平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面．
【例9】已知三棱柱，是正三角形，直线平面，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解答】证明：（1）在三棱柱中，是正三角形，
△是正三角形，
又是棱的中点，
．
，平面，
平面，平面，
，
，
平面．
（2）连接交于点，连接，则为的中点．
是棱的中点，
为△的中位线．
．
又平面，面，
平面．
【例10】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
【解答】证：（1）在四棱锥中，底面为菱形，
所以，（2分）
平面，平面，
平面（4分）
（2）连结．平面，平面，
（6分）
底面为菱形，
，
，，平面，
平面，又平面（9分）
．（10分）
【例11】如图，四棱锥中，已知平面，，，为棱上的一点，经过，，三点的平面与棱相交于点．
（1）求证：平面；（2）求证：；
【解答】证明：（1）平面，平面，
，又，，
平面，
平面，，
，，平面．
（2）由（1）知平面，
又平面，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
一．选择题（共9小题）
1．正方体中与垂直的平面是　　
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【解答】解：正方体中，
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，，，，
平面，故正确．故选：．
2．设平面，且，，相等，则是的　　
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【解答】解：由题意知，点作平面的射影，
且，因为底面，
所以，
即：，
所以为三角形的外心．
故选：．
3．已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，
或或与相交，，
，
．
故选：．
4．下列条件中，能判定直线平面的有　　
A．与平面内的两条直线垂直
B．与平面内的无数条直线垂直
C．与平面内的任意一条直线垂直
D．与平面内的某一条直线垂直
【解答】解：与平面内的两条直线垂直，如果平面中的两条直线是平行线，
则无法判定直线平面，故不正确；
与平面内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是平行线，
则无法判定直线平面，故不正确；
与平面内的任意一条直线垂直，
则由直线与平面垂直的判定定理知直线平面，故正确；
与平面内的某一条直线垂直，
则与平面相交、平行或直线在平面内，故不正确．故选：．
5．若，，表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是　　
A．，，，， B．，
C．，， D．，
【解答】解：，，，，，
满足定理的条件，所以正确；，，
是不一定，所以不正确；，，
及，都不正确
故选：．
6．如图，面，中，则是　　
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【解答】解：面，平面
又中，
平面
；
即是直角三角形．
故选：．
7．如图，三棱锥中，己知，，，，分別为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）平面．
【解答】解：（1）证明：因为，分別为，的中点，
所以，又面，
所以面，
（2）证明：因为，，所以面，
又面，
所以，
又，为的中点．
所以，
又，
所以面，
命题得证
8．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
【解答】证明：（Ⅰ）在正中，是的中点，，
是的中点，是的中点，，，
又，，平面，
平面，，
又，，平面．
9．直三棱柱中，，，分别为，的中点，．
求证：（1）平面；
（2）．
【解答】证明：（1）取中点，连结，，
直三棱柱中，，，分别为，的中点，
，，
，，平面平面，
平面，平面．
解：（2）直三棱柱中，，
，
，，
，，平面，
平面，．
10．如图，四面体中，平面，，，．
（1）证明平面；
（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（1）由题设知，，
，，
平面，，，
，平面．
解：（2）点为的中点，且，使得．
理由如下：
在平面内，过点作，垂足为，
在平面内，过点作，交于点，连结，
由平面，知，，
平面，
平面，，
在中，，点为的中点，则点为的中点，
在中，，，，
．
1．已知直线平面，，那么过点且垂直于的直线　　
A．只有一条，在平面内
B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，且都在平面内
D．有无数条，不一定都在平面内
【解答】解：直线平面，
直线垂直平面内的所有直线，
则过点且垂直于的直线有无数条，且都在平面内，
故选：．
2．正方体中，下列结论错误的是　　
A．平面
B．平面
C．
D．异面直线与所成的角是
【解答】解：由正方体的性质得，，所以，平面故正确．
由正方体的性质得 由三垂线定理知，，
，所以平面，故正确．
由正方体的性质得，故成立．
异面直线与所成的角就是异面直线与所成角，
故为所求，三角形是正三角形，
故不正确故选：．
3．是平面外一点，平面，垂足为，若，，两辆互相垂直，则是的　　
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【解答】证明：连结并延长，交于，连结并延长，交于，
，，面，，
面，，面，
，，
同理，，
是的垂心．故选：．
4．下列命题正确的是　　
①平行于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两直线平行；
③平行于同一直线的两平面平行；
④垂直于同一直线的两平面平行．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解答】解：①平行于同一平面的两直线平行，错误，有可能相交，如图：
面，面，．
②垂直于同一平面的两直线平行，正确，
垂直于同一平面的直线都和该平面的法线平行，
因此它们之间必然平行．除非两条直线重合；
③平行于同一直线的两平面平行，不正确；
证明：假设有一条直线和它的两条平行线，，
，确定一个平面，过作任何一个平面，只要不过，
肯定和平行，却和原来的平面相交于．
④垂直于同一直线的两平面平行．正确．
证明：假设两个面相交． 假设这条直线与第一个面相交于点，与第二个面相交于点．两面相交直线为，在直线上任取一点，则应该为一个三角形．然而，与与均为直角不符，所以，两个面不可以相交，两个面平行．
故选：．
5．一条直线与一个平面垂直的条件是　　
A．垂直于平面内的一条直线
B．垂直于平面内的两条直线
C．垂直于平面内的无数条直线
D．垂直于平面内的两条相交直线
【解答】解：由线面垂直的判定定理，可得一条直线与一个平面垂直的条件是垂直于平面内的两条相交直线．
故选：．
6．已知，是直线，是平面，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：、，或，故不正确；
、，，也可能与不垂直，故错误；
、，，若，则结论不成立，故错误；
、，，满足直线与平面垂直的判定定理，故正确；
故选：．
7．垂直于同一平面的两条直线一定　　
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
【解答】解：设直线、都与平面垂直，可以用反证法证明、必定是平行直线
假设、不平行，过直线与平面的交点作直线，使
直线与直线是相交直线，设它们确定平面，且
，，．同理可得，
又，
这样经过一点作出两条直线、都与直线垂直，这是不可能的
假设不成立，故原命题是真命题
故选：．
8．直线垂直于平面内的两条直线，则与的关系是　　
A．垂直 B．平行
C．相交 D．前三者都有可能
【解答】解：直线垂直于平面内的两条直线，若两条直线相交，则；若两条直线平行，则与平行或相交
故选：．
9．已知在空间四边形中，，，点为的中点，求证：平面．
【解答】证明：，，点为的中点，
为等腰三角形，
；
同理．
又，
平面．
10．如图，四边形与均为菱形，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解答】（本小题满分10分）
证明：（1）因为四边形为菱形，
所以，因为面，面，
所以面．（5分）
（2）设与相交于点，连接，
因为四边形为菱形，
所以，且为的中点，（7分）
又，所以，因为，
所以平面．（10分）
11．如图三棱锥中，，为的中点，底面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设是棱上的一点，若平面，求的值．
【解答】证明：（1）为的中点，为的中点．
，
，，
底面，平面，，
，平面．
解：（2）是棱上的一点，，
平面，平面，
平面，
平面，，平面平面，
，
．

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