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学习目标　1.理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系．
导语
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5,5<7,5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？(同学们有可能回答包含关系)嗯，大家都预习课本了，有同学说了，集合间有包含关系，不错，本节课的关键词就是“包含”，古人有云：困难里包含着胜利；失败里孕育着成功；书包含着人生；机会包含于每个人的奋斗之中．
一、子集
问题1　观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}．
提示　(1)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.(2)集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.(3)集合A包含集合B，集合B也包含集合A.
知识梳理
1．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集
记法与读法 记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A； (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C
2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.
也就是说，若A B，且B A，则A＝B.
注意点：
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.
(2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A B，且B A，则A＝B”，反之亦成立．
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(3)正方形是特殊的矩形，故A B.
(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N M.
反思感悟　判断集合间关系的常用方法
跟踪训练1　(1)已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　)
A．A B C B．B A C
C．C A B D．A＝B C
答案　B
解析　集合A，B，C的关系如图．
(2)下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案　C
解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合；集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合；{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合．
二、真子集
问题2　通过学习子集的概念我们发现，一个非空集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？
提示　对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集．
知识梳理
1．真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集
记法与读法 记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
结论 (1)A?B且B?C，则A?C； (2)A B且A≠B，则A?B
2.空集
定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集
记法
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ； (2)A≠ ，则 ?A
3.性质：(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A A；(2)传递性：对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
注意点：
(1)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(2) 与{0}的区别：
是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合， ?{0}．
例2　写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
解　子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
其中真子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．
反思感悟　求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身．
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
跟踪训练2　满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}的集合M有________个．
答案　7
解析　由题意可得{1,2}?M {1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
三、由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
解　因为B≠ ，且B A，如图所示．
则或
解得2≤m≤3.
延伸探究　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解　因为B≠ ，且B A，如图所示．
所以解得
即2≤m<3，
所以m的取值范围是{m|2≤m<3}．
反思感悟　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圈表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
解　因为B≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则
解得2所以实数a的取值范围为{a|21．知识清单：
(1)子集、真子集的概念与性质．
(2)子集的个数．
(3)由集合间的关系求参数范围．
2．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集 ，它在集合中有至高的地位；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论．
1．以下五个式子中，错误的个数为(　　)
①{1}∈{0,1,2}；
②{1，－3}＝{－3,1}；
③{0,1,2} {1,0,2}；
④ ∈{0,1,2}；
⑤ ∈{0}．
A．5 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①应是{1} {0,1,2}．对于②，集合中的元素有无序性，故②正确．③任何集合都是本身的子集，故{0,1,2} {1,0,2}，正确．④应是 {0,1,2}．⑤应是 {0}．故错误的有①④⑤.
2．已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0A．A>B B．A?B C．B?A D．A答案　C
解析　由数轴知B?A.
3．集合A＝{0,2,4,6}的子集个数是(　　)
A．8 B．12 C．15 D．16
答案　D
4．集合A＝{x|1答案　{a|a≥6}
解析　∵A＝{x|11．下列各选项中，表示M N的是(　　)
答案　C
解析　由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．
2．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　)
A．M P B．P M
C．M＝P D．M，P互不包含
答案　D
解析　由于集合M为数集，集合P为点集，
因此M与P互不包含．
3．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　由题意知，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A C B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
4．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
答案　D
5．(多选)已知集合A＝{0,1}，则下列式子正确的是(　　)
A．0∈A B．{1}∈A
C． A D．{0,1} A
答案　ACD
解析　∵{1} A，∴B项错误，其余均正确．
6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　)
A．2 B．－1
C．－2 D．4
答案　AB
解析　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
7．若整数x，y能使{2x，x＋y}＝{7,4}成立，则xy＝________.
答案　10
解析　若解得因为x，y为整数，故舍去；
若解得则xy＝10.
8．已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是________．
答案　{p|p≥4}
解析　集合A＝{x|x<－1，或x>2}，
B＝{x|4x＋p<0}＝，
若B A，则－≤－1，即p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}．
9．已知集合A＝{1,3，－x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
解　存在，理由如下：由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实根，故不成立，综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a组成的集合C.
解　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，
当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素，
集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以B?A.
(2)当a＝0时，由题意得B＝ ，又A＝{3,5}，故B A；
当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B A，此时＝3或＝5，则有a＝或a＝.
所以C＝.
11．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
答案　D
解析　由题意得，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0,1或－1.
12．(多选)已知集合A＝{－1,0}，若集合B满足{0} B A，则集合B等于(　　)
A．{－1,0} B．{0} C．{－1} D．
答案　AB
解析　∵集合B满足{0} B A，∴B＝{0}或B＝{0，－1}．
13．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为(　　)
A．1 B. C．－1 D．－
答案　AD
解析　由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，
当a＝1时，满足题意．
当a≠1时，
由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.
14．已知非空集合P满足：(1)P {1,2,3,4,5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________．
答案　7
解析　由a∈P，6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．
15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
答案　D
解析　当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1,1}时，不成立．
故a＝±1.
16．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围．
解　(1)由于A中有两个元素，
∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴Δ＝9＋16a＞0，且a≠0，即a＞－，且a≠0.
故实数a的取值范围是.
(2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素，
即方程ax2－3x－4＝0无解或只有一解，
当a＝0时，方程为－3x－4＝0，解得x＝－，集合A＝；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，此时a＝－；
若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，此时a＜－.
综上可知，实数a的取值范围是.

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