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1.4.2　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
一、充要条件
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集．
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题．
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识梳理
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
注意点：
充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件．
例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
解　(1)当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故p q；又是正数，但不是自然数，故q p.故p是q的既不充分也不必要条件．
反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B＝ ，q：A与B之一为空集；
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
解　(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件．
二、充要条件的证明
例2　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，
∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．
综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
反思感悟　充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
跟踪训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
三、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围为{m|m≥9}．
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练3　在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
解　由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}．
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
1．知识清单：
(1)充要条件概念的理解．
(2)充要条件的证明．
(3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，
则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，
但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立．
因此“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件．
3．“aA．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　D
4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
答案　m＝－2
解析　函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，
则－＝1，即m＝－2；
反之，若m＝－2，
则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　设A＝{x|1故“12．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
4．已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a－b)>0，比如当a0，则a－b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a－b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负．故是既不充分也不必要条件．
5．(多选)下列选项中正确的是(　　)
A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件
B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C．A∪B＝A是B A的必要不充分条件
D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
答案　AD
6．(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤0或x>2
答案　BC
解析　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意．
7．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　必要不充分
解析　由两三角形对应角相等 △ABC≌△A1B1C1；
反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
8．对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．
答案　充要
解析　由x∈B，显然可得x∈A∪B；
反之，由A B，则A∪B＝B，
所以由x∈A∪B可得x∈B，
故x∈B是x∈A∪B的充要条件．
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
10．设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，
由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或
解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是0≤a≤.
11．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　)
答案　C
解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．
12．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，
故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．
13. 集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈ UB，q：a∈A，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件．
14．已知“p：x>m＋3或x答案　m≤－7或m≥1
解析　因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
15．“已知四边形ABCD且A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
16．求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
证明　(1)充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根；
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－；
当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0，
且x1x2＝＜0，方程两根一正一负．
所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根．
(2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则
①当a＝0时，x＝－，符合题意．
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；
当a＝1时，方程的解为－1，符合题意；
当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，
则x1x2＝＜0，即a＜0.
所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0.
综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.

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