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1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
导语
同学们，不知道大家在生活中有没有这样的经历，比如说，某天你惹父母生气了，你父母可能会说：“天天惹我生气，被你气死算了”，但实际上你也许有过让你父母高兴的时刻；或者说，你某次成绩考的很好，你父母会说：“宝贝儿，你总是那么优秀”，这也许忽略了之前某次考的不好的时候，而数学的神奇就在于它总能用符号语言描述生活中的实例，那就让我们开始今天的探究之旅！
一、全称量词命题的否定
问题1　写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说， x∈R，x＋|x|<0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题．
知识梳理
1．对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M，綈p(x)．
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
2．常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
注意点：
总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假．
例1　写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被2整除的整数都是偶数；
(2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根．
解　(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
(2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上．
(3)该命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
反思感悟　全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M，綈p(x)．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1　写出下列命题的否定：
(1) n∈Z，n∈Q；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形．
解　(1) n∈Z，n Q.
(2)存在一个奇数的平方不是奇数．
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形．
二、存在量词命题的否定
问题2　写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说， x∈R，x2－2x＋3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
知识梳理
对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
注意点：
总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．
例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；
(3) x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解　(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．
(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．
(3)该命题的否定： x，y∈Z，x＋y≠3.
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
反思感悟　存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即 x∈M，p(x)，它的否定： x∈M，綈p(x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有的素数是偶数；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0.
解　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定： a，b∈R，a2＋b2>0.
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
例3　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
解　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，
因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，
所以2＋a≥3，
所以a≥1.
延伸探究　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解　由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，
故有>1，所以a<1.
反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a跟踪训练3　已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且綈p是假命题，求实数a的取值范围．
解　因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，
所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
则
解得－3≤a≤1，
即实数a的取值范围是－3≤a≤1.
1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(2)命题真假的判断．
(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：否定不唯一；命题与其否定的真假性相反．
1．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
答案　C
解析　此全称量词命题的否定为 x∈R，|x|＋x2<0.
2．命题“ x>0,2x2＝5x－1”的否定是(　　)
A． x>0,2x2≠5x－1
B． x≤0,2x2＝5x－1
C． x>0,2x2≠5x－1
D． x≤0,2x2＝5x－1
答案　A
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题．
3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
答案　C
解析　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
4．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为 ________________________________.
答案　存在两个等边三角形，它们不相似
解析　根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得：
命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为“存在两个等边三角形，它们不相似”．
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
答案　C
解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A．綈p： x∈A，2x∈B
B．綈p： x A，2x B
C．綈p： x A，2x∈B
D．綈p： x∈A，2x B
答案　D
解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，綈p： x∈A，2x B.
3．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，|x|＋1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，|x|<1
D． x∈R，＋1＝2
答案　B
解析　A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题．
4．已知命题“ x∈R，x2＋2x＋a－2＜0”为假命题的充要条件是(　　)
A．a＜3 B．a≤3
C．a＞3 D．a≥3
答案　D
解析　因为命题“ x∈R，x2＋2x＋a－2＜0”为假命题，
所以命题的否定“ x∈R，x2＋2x＋a－2≥0”为真命题，
即x2＋2x＋a－2≥0恒成立的充要条件 Δ＝22－4(a－2)≤0 a≥3.
5．(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A．綈p： x∈R，x2＋1＝0
B．綈p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，綈p是假命题
D．p是假命题，綈p是真命题
答案　AC
解析　命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．
6．(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N,2n≤100；p的否定： n∈N,2n>100
答案　ABD
解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
7．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”或“否”)
答案　是
解析　因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．
8．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　{a|a≤1}
解析　∵命题綈p是假命题，
∴p是真命题，
即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，
∴a≤1.
9．写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；
(2)末位数字为9的整数能被3整除；
(3) x∈R，x2＋1<0.
解　(1)所有的四边形都没有外接圆．
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．
(3) x∈R，x2＋1≥0.
10．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
解　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
∴綈p为假命题．
(2)綈p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，
当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，
∴綈p为真命题．
11．下列命题的否定是真命题的为(　　)
A．p1：每一个合数都是偶数
B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C．p3：全等三角形的周长相等
D．p4：所有的无理数都是实数
答案　A
解析　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以綈p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即綈p2，綈p3，綈p4均为假命题．
12．(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A．等圆的面积相等，周长相等
B． x∈N，x2≥1
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．有些梯形的对角线相等
答案　ACD
解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；
B的否定： x∈N，x2<1，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：所有梯形的对角线都不相等．如等腰梯形的对角线相等，假命题．
13．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1
答案　B
解析　因为命题p： x>0，x＋a－1＝0为假命题，
所以綈p： x>0，x＋a－1≠0是真命题，
即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.
14．已知命题p：“存在0≤x1≤3，对任意－m≤x2≤2，使得x1＜x2”为假，则实数m的取值范围是________．
答案　m≥
解析　命题p的否定为：“任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2”为真命题，等价于(x1)min≥(x2)min，
得0≥－m，所以m≥.
15．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得n<2x＋1
B． x∈R， n∈N*，使得n<2x＋1
C． x∈R， n∈N*，使得n<2x＋1
D． x∈R， n∈N*，使得n<2x＋1
答案　D
解析　由题意可知，全称量词命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“ x∈R， n∈N*，使得n<2x＋1”．
16．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围．
解　命题p的否定为：“ x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立”，
设y＝x2＋2ax＋2－a，x∈[1,2]，
由题意，有解得a≤－3，
因为命题p的否定为假命题，
所以a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．

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