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一、集合的基本概念
1．理解集合的概念、集合的特点、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换．
2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养．
例1　已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
答案　C
解析　①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；
③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.
综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个．
反思感悟　解决集合的概念问题应关注两点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
跟踪训练1　(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的取值不可以为(　　)
A．2 B．3 C．0 D．－2
答案　ACD
解析　由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m＝3，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意；若m＝0，这与m≠0矛盾，不符合题意；当m＝－2时，m2－3m＋2＝12，此时集合A＝{0，－2,12}，不符合题意．
二、集合间的基本关系
1．集合间的基本关系包括包含、真包含、相等．能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围．
2．掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．
例2　已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a答案　a<－2或≤a<1
解析　因为a<1，所以2a画数轴如图所示．
由B A知，a＋1<－1或2a≥1.
即a<－2或a≥.
由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，
即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1.
反思感悟　处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．
跟踪训练2　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1答案　m≤4
解析　若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m>1，则1综上可知，m≤4.
三、集合的基本运算
1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例3　(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝
B．A∩( RB)＝
C．A∪B＝
D．( RA)∪B＝R
答案　AB
解析　因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝， RA＝{x|x≥2}， RB＝，
所以A∩B＝，
A∩( RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，
( RA)∪B＝.
反思感悟　(1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解．
(2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．
跟踪训练3　已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　联立解得或
因此M∩N中的元素个数为2.
四、充分条件与必要条件
1．若p q，且q p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；
若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．
2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．
例4　设集合A＝{x|－1(1)若a＝2，求A∪B和A∩B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解　(1)A＝{x|－1因为a＝2，所以B＝{x|0所以A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|0(2)因为p是q成立的必要不充分条件，
所以B?A，
当B＝ 时，2－a≥2＋a，得a≤0；
当B≠ 时，等号不能同时取到．
解得0所以实数a的取值范围是a≤1.
反思感悟　充分、必要、充要条件的常用判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．
(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
跟踪训练4　已知集合A＝{x|m－1(1)当m＝2时，求A∪B，A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解　(1)B＝{x|－2当m＝2时，A＝{x|1所以A∩B＝{x|1(2)由题意，可得集合A是集合B的真子集，
因为m－1所以
解得－1≤m≤1，
经检验m＝－1不符合题意，
所以－1即实数m的取值范围是－1＜m≤1.
五、全称量词与存在量词
1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．
例5　命题：“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x R，x2≠x B． x∈R，x2≠x
C． x R，x2≠x D． x∈R，x2＝x
答案　D
解析　先将“ ”改为“ ”，再否定结论，可得命题的否定为 x∈R，x2＝x.
反思感悟　全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
(1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论．
(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．
跟踪训练5　命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2x＋6＝0”的否定是______________
_______________________________________________________________________________.
答案　所有正实数x都不满足方程x2＋2x＋6＝0
解析　把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

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