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习题课　不等式恒成立、能成立问题
学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题．
一、在R上的恒成立问题
例1　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围．
解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，
即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1综上，实数k的取值范围是{k|－1反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
注意点：
若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
跟踪训练1　若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0，
综上，实数k的取值范围是－≤k≤0.
二、在给定范围内恒成立的问题
例2　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
解　令y＝x2＋mx＋4，
∵y<0在1≤x≤2上恒成立，
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴实数m的取值范围是{m|m<－5}．
反思感悟　在给定范围内的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
跟踪训练2　命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
答案　B
解析　因为命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，
所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
三、解决简单的能成立问题
例3　当10有解，则实数m的取值范围为________________．
答案　{m|m>－5}
解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
反思感悟　(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m跟踪训练3　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}．
1．知识清单：
(1)在R上的恒成立问题．
(2)给定范围内的恒成立问题．
(3)解决简单的能成立问题．
2．方法归纳：等价转换法，数形结合法．
3．常见误区：要注意端点值的取舍．
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
答案　D
解析　不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．0C．0≤m≤2 D．0≤m≤4
答案　C
解析　令y＝，
当m＝0时，函数y＝，符合题意；
当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
则即解得0综上，实数m的取值范围是0≤m≤2.
3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．a<1
答案　D
解析　因为1≤x≤2，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________.
答案　－4解析　原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，当a≠0时，有 －41．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≤－2或m≥2}
B．{m|－2≤m≤2}
C．{m|m<－2或m>2}
D．{m|－2答案　A
解析　因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，
所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
3．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4C．{a|a≤－4或a≥4}
D．{a|a<－4或a>4}
答案　A
解析　由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
答案　A
解析　由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
5．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是(　　)
A．a<1 B．a≤1
C．a<2 D．a<0
答案　BC
解析　因为ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0时恒成立，又由解得0综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.
6．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋A．{m|－13}
C．{m|－44}
答案　D
解析　因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4.
由x＋4，
解得m>4或m<－1.
7．若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是________．
答案　1≤m≤9
解析　x2＋(m－3)x＋m<0无解，
则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，
解得1≤m≤9.
8．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是_______．
答案　{k|－3解析　当k＝1时，－1<0恒成立；
当k≠1时，由题意得
解得－3因此实数k的取值范围为{k|－39． x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
解　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1,0)，且与反比例函数y＝交于点M(3,4)，
(1)求二次函数与反比例函数的表达式；
(2)若对 x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求参数m的取值范围．
解　(1)∵点M(3,4)在反比例函数y＝的图象上，故有4＝，
解得k＝12，从而反比例函数为y＝.
又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A，B，M，
∴解得
∴y＝x2－x－2.
(2)由(1)知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，
故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，
即x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立
∴Δ≤0，
又Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3，
∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1.
11．设p：“ x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵ x∈R，x2－mx＋1>0，
∴Δ＝m2－4<0，
∴－2∴p：－2由集合间的关系可知，p是q成立的充分不必要条件．
12．若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2，2) D．(－∞，2)
答案　C
解析　当a－3＝0，即a＝3时，不等式化为2x－4＜0，解得x＜2，不满足题意；
当a≠3时，
需满足
解得
∴－2＜a＜2.
综上，实数a的取值范围是(－2，2)．
13．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是(　　)
A．a<－3 B．a<－4
C．a<0 D．a>0
答案　C
解析　因为x2－2x＋a<0，
所以a<－x2＋2x，
又因为－1≤x≤2，
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，
所以a<－3，
又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”．
所以C正确．
14．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为________．
答案　
解析　令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)·a－2x－2，是关于a的函数，由题意得
(x2＋x)－2x－2＞0或 (x2＋x)·3－2x－2＞0.
即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.
解①可得x＜－1或x＞2，解②可得x＜－1或x>.
则实数x的取值范围为.
15．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，
若a＝－1，不等式为2x－1≤0，
解得x≤，不符合题意，
当a2－1≠0时，
若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，
则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，
解得－≤a<1，
综上可得－≤a≤1.
16．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．
解　y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
∴x2－x＋1<恒成立，
∴x2－x＋1< x2－x－1<0 ∴实数x的取值范围为.

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