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第十四讲 圆周运动和向心力
知识图谱
课堂引入
圆周运动中在生活中处处可见，我们如何用速度，位移，加速度和力等物理量描述这些转动的规律呢？这是本讲要介绍的内容。
课程目标
理解匀速圆周运动的特点；
掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速；
理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系；
理解匀速圆周运动的周期性的确切含义；
理解向心力的特点及其来源；
理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别；
能够运用力学的基本方法解决圆周运动问题；
圆周运动
知识精讲
一．圆周运动的线速度
1．线速度的定义：
圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。
公式： （比值越大，说明线速度越大）
方向：沿着圆周上各点的切线方向
单位：m/s
2．说明
1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。
2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向
线速度的大小是的比值。所以是矢量。
3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。
4）线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度
注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。
二．描写圆周运动的角速度
1．角速度的定义：
圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。
公式：
单位：(弧度每秒)
2．说明：
1)这里的必须是弧度制的角。
2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。
3）角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。
4)关于的方向：中学阶段不研究。
5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等
例如：木棒OA以它上面的一点O为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心O的连线在相等时间内扫过的角度相等。
即：
3、关于弧度制的介绍
(1)角有两种度量单位：角度制和弧度制
(2)角度制：将一个圆的周长分为360份，其中的一份对应的圆心角为一度。因此一个周角是3600，平角和直角分别是1800和900。
(3)弧度制：定义半径长的弧所对应的圆心角为一弧度，符号为rad。一段长为的圆弧对应的圆心角是 rad,
(4)特殊角的弧度值：在此定义下，一个周角对应的弧度数是：；平角和直角分别是 （rad）。
（5）同一个角的角度和用弧度制度量的之间的关系是：rad,
三．匀速圆周运动的周期与转速
1．周期的定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，单位：。
它描写了圆周运动的重复性。
2．周期T的意义：不难看到，周期是圆周运动的线速度大小和方向完全恢复初始状态所用的最小时间；周期长说明圆周运动的物体转动得慢，周期短说明转动得快。
观察与思考：同学们看一看你所戴的手表或者墙上钟表上的时、分、秒针，它们的周期分别是多少？想一想角速度和周期的关系如何？（秒针的周期最小，其针尖的最大，也最大。）
3．匀速圆周运动的转速
转速n：指转动物体单位时间内转过的圈数。
单位： r/s（转每秒），常用的单位还有(转每分)
关系式：s(n单位为r/s)或s(n单位为r/min)
注意：转速与角速度单位的区别。
四．描述圆周运动快慢的几个物理量的相互关系
因为这几个都是描述圆周运动快慢，所以它们之间必然有内在联系
1．线速度、角速度和周期的关系
匀速圆周运动的线速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期有确定的对应关系：角速度与周期成反比。
2．线速度、角速度与转速的关系：
匀速圆周运动的线速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
匀速圆周运动的角速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
3．线速度和角速度的关系：
(1)线速度和角速度关系的推导：
特例推导：
设物体沿半径为的圆周做匀速圆周运动，在一个Ｔ时间内转过的弧长及角度，则：
一般意义上的推导：
由线速度的定义：
而，所以
又因为，所以
(2) 线速度和角速度的关系：
可知：，。
同理： 一定时，一定时。
(3)对于线速度与角速度关系的理解：
是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。
五．常见转动模型
1．皮带传动
如图所示，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑。其中，提供动力的为主动轮，不提供动力的为从动轮。
特点
（1）和同一皮带接触的各点线速度大小相等。
（2）根据圆周运动公式可知：在 一定的时， 与 成反比。
由此可知上图中：
常见模型
2．齿轮传动
如图所示，齿轮传动是指主动轮与从动轮的轮齿直接啮合得转动装置。
特点
（1）两个齿轮的轮齿啮合点的线速度大小相等，但它们的转动方向恰好相反。
（2）根据圆周运动公式可知：在一定的时， 与成反比。
常见模型
圆周运动的概念
例题1、 匀速圆周运动是一种（ ）
A.匀速运动 B.匀加速运动 C.匀加速曲线运动 D.变加速曲线运动
例题2、 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是（ ）
A.相等的时间里通过的路程相等 B.相等的时间里速度变化量相等
C.相等的时间里发生的位移相同 D.各个时刻的加速度相等
例题3、 关于平抛运动和圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A.平抛运动是匀变速曲线运动
B.匀速圆周运动是速度不变的运动
C.圆周运动是匀变速曲线运动
D.做平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的
随练1、 做匀速圆周运动的物体，在运动过程中保持不变的物理量是（ ）
A.加速度 B.线速度 C.角速度 D.合外力
描述圆周运动的物理量及其关系
例题1、 A、B两物体都做匀速圆周运动，当A转过45°角时时间内，B转过了60°角，则A物体的角速度与B的角速度之比为(　　)
A.1：1 B.3：4 C.4：3 D.9：16
例题2、 通常的钟表表面上秒针正常转动时的角速度大约是(　　)
A.0.05rad/s B.0.1rad/s
C.1rad/s D.6rad/s
例题3、 一物体做匀速圆周运动的半径为r，线速度大小为v，角速度为ω，周期为T．关于这些物理量的关系，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.v＝ωr
随练1、 下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是(　　)
A.它们线速度相等，角速度一定相等 B.它们角速度相等，线速度一定也相等
C.它们周期相等，角速度一定也相等 D.它们周期相等，线速度一定也相等
随练2、 如图所示，a、b是地球赤道上的两点，b、c是地球表面上不同纬度上的两个点，若a、b、c三点随地球的自转都看作是匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)
A.a、b、c三点的角速度相同 B.a、b两点的线速度相同
C.b、c两点的线速度相同 D.b、c两点的轨道半径相同
常见的传动装置分析
例题1、[多选题] 如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。下列说法正确的是(　　)
A.A与B线速度大小相等 B.B与C线速度大小相等
C.C与A角速度大小相等 D.A与B角速度大小相等
例题2、 以A、B为轴的圆盘，A以线速度ⅴ转动，并带动B转动，A、B之间没有相对滑动则(　　)
A.A、B转动方向相同，周期不同 B.A、B转动方向不同，周期不同
C.A、B转动方向相同，周期相同 D.A、B转动方向不同，周期相同
例题3、 如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘（大齿轮），Ⅱ是半径为r2的飞轮（小齿轮），Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n（r/s），则自行车前进的速度为(　　)
A. B. C. D.
随练1、 如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3．若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（ ）
A. B. C. D.
随练2、 如图所示，、是皮带传动的两轮，半径是的2倍，上的C点到轴心的距离等于半径的一半，则（ ）
A. B. C. D.
向心力
知识精讲
一．物体做匀速圆周运动的条件
物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。
说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。
二．关于向心力及其来源
1．向心力
（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。
（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。
（3）向心力的大小：
向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；
对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；
线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。
如果是匀速圆周运动则有：
（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。
（5）关于向心力的说明：
①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；
②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；
③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。
2．向心力的来源
（1）向心力不是一种特殊的力。重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。
（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：
三．匀速圆周运动与变速圆周运动的区别
1．从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动
（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。
例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。
（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。
例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。
不难看出：
向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。
向心力的理解及来源分析
例题1、 如图所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端O做匀速圆周运动。关于小球的受力情况，下列说法中正确的是(　　)
A.只受重力和支持力的作用 B.只受重力和向心力的作用
C.只受重力、支持力和拉力的作用 D.只受重力、支持力、拉力和向心力的作用
例题2、 如图所示．物体m与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则有关物体m的受力情况的说法正确的是（ ）
A.物体受重力、支持力、摩擦力和向心力 B.物体受重力、压力、支持力和摩擦力
C.物体受重力、支持力和向心力 D.物体受重力、支持力和摩擦力
例题3、 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是：（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C.物体所受弹力和摩擦力都减小了 D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
例题4、 一小球沿着竖直光滑的圆弧形轨道下滑，如图所示，在下滑过程中（ ）
A.它的加速度始终指向圆心 B.它所受合外力大小变化，方向指向圆心
C.它所受合外力大小不变 D.它的向心力不断增大
随练1、[多选题] 如图所示，在水平转台上放一个质量M的木块，细绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O（为光滑的）悬吊一质量m的小球，当转台以某一恒定角速度转动过程时木块相对转台始终静止，关于木块所受摩擦力说法正确的（ ）
A.摩擦力大小可能为零 B.若有摩擦力，摩擦力方向可能沿切线方向
C.若有摩擦力，摩擦力方向一定沿半径向外 D.若有摩擦力，摩擦力方向可能指向圆心
随练2、 如图所示，是用来研究向心力与转动物体的半径、质量以及角速度之间关系的向心力演示器。
（1）这个实验所用的主要研究方法是________（选填番号）
A．控制变量法
B．等效代替法
C．理想实验法
D．假设法
（2）观察图中两个相同的钢球位置距各自转轴的距离相等，皮带由此推测出是在研究向心力的大小F与的关系________。（选填番号）
A．质量m
B．角速度ω
C．半径r
随练3、 下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是(　　)
A.物体除其他的力外还要受到—个向心力的作用
B.物体所受的合外力提供向心力
C.向心力是一个恒力
D.向心力的大小—直在变化
向心力的计算与应用
例题1、 质量为1.5kg的物体做匀速圆周运动，5s内沿半径为10m的圆周运动了100m，求：
（1）物体线速度的大小；
（2）物体所受向心力大小。
例题2、 如图所示，轨道ABC在竖直面内，其中AB为接触面粗糙的圆，B端切线恰好水平，A距离水平地面高H＝0.65m，B距离水平地面高h＝0.45m。一质量m＝0.10kg的小物块自A点从静止开始下滑，从B点以水平速度飞出后落在水平地面上的C点。现测得B、C两点的水平距离为x＝0.60m。不计空气阻力，取g＝10m/s2。求：
（1）小物块从B点运动到C点经历的时间；
（2）小物块从B点飞出时速度的大小；
（3）小物块经过B点时对轨道的压力大小。
例题3、 在如图所示的圆锥摆中，已知绳子长度为L，小球的质量为m，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，试求
（1）绳子的拉力；
（2）小球做匀速圆周运动的周期。
随练1、 如图，ABC是光滑轨道，其中AB是水平的，BC是与AB相切的位于竖直平面内的半圆轨道，半径R＝0.4m。质量m＝0.5kg的小球以一定的速度从水平轨道冲向半圆轨道，经最高点C水平飞出，落在AB轨道上，距B点的距离s＝1.6m。g取10m／s2，求：
（1）小球经过C点时的速度大小；
（2）小球经过C点时轨道对小球的支持力大小。
随练2、 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力为零），物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，求：
（1）转盘的角速度为ω1时绳中的张力T1；
（2）转盘的角速度为ω2时绳中的张力T2。
课堂小结
一．圆周运动
1．匀速圆周运动的特点及性质
线速度大小不变,方向时刻变化,是变速曲线运动；
线速度大小、角速度、周期、频率、转速都不变；
2．描述匀速圆周运动快慢的物理量
，，，
3．传动装置
同一传动各轮边缘上线速度相同；
同轴转动物体上各点的角速度相同；
二．向心力
1．向心力的方向：指向圆心；
2．向心力的作用效果：改变速度的方向；
3．向心力的大小：
4．匀速圆周运动：合力充当向心力；
5．变速圆周运动：合力不指向圆心，沿半径方向的合力充当向心力。
拓展
1、 (多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A.由于，所以角速度大的物体的线速度大
B.匀速圆周运动中物体的周期保持不变
C.匀速圆周运动中物体的速度保持不变
D.匀速圆周运动中物体的速率保持不变
2、 计算机硬盘上的磁道为一个个不同半径的同心圆，如图所示，M、N是不同磁道上的两个点，当磁盘绕中心点转动时，比较M、N两点的运动，下列判断正确的是（ ）
A.M、N的线速度大小相等 B.M、N的角速度大小相等
C.M点的线速度大于N点的线速度 D.M点的角速度小于N点的角速度
3、 如图所示，A、B是两只相同的齿轮，A被固定不能转动．若B齿轮绕A齿合运动半周，到达图中的C位置，则B齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是（ ）
A.竖直向上 B.竖直向下 C.水平向左 D.水平向右
4、 如图，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A.小球受到重力、漏斗壁的支持力和向心力 B.小球受到的重力大于漏斗壁的支持力
C.小球受到的重力小于漏斗壁的支持力 D.小球所受的合力的大小等于0
5、 如图所示的圆锥摆中，摆球A在水平面上作匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A.摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B.摆球A受拉力和向心力的作用
C.摆球A受拉力和重力的作用 D.摆球A受重力和向心力的作用
6、 系在细线上的小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球做匀速圆周运动的轨道半径为R，细线的拉力等于小球重力的n倍，则小球的(　　)
A.线速度 B.线速度
C.角速度 D.角速度
答案解析
圆周运动
圆周运动的概念
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、匀速圆周运动速度大小不变，方向变化，速度是变化的，是变速运动，故A错误。
B、C、D、匀速圆周运动加速度始终指向圆心，方向时刻在变化，加速度是变化的，故是变加速曲线运动，故B错误，C错误，D正确。
例题2、
【答案】 A
【解析】 A、匀速圆周运动在相等时间内通过的弧长相等，路程相等。故A正确。
BD、匀速圆周运动的加速度的方向始终指向圆心，是不断变化的，所以相等的时间里速度变化量也不相等。故B错误，D错误；
C、相等的弧长对应相等的弦长，所以相等时间内位移的大小相等，但方向不同，所以相等时间内发生的位移不同。故C错误。
例题3、
【答案】 A
【解析】 A、平抛运动的加速度始终为g，则是匀变速曲线运动，选项A正确；
B、匀速圆周运动的速度大小不变，方向不断变化，则速度不断改变，选项B错误；
C、圆周运动的加速度不断变化，则不是匀变速曲线运动，选项C错误；
D、做平抛运动的物体水平速度永不为零，则落地时的速度不可能变成竖直向下，选项D错误。
随练1、
【答案】 C
【解析】 匀速圆周运动过程中，向心加速度大小不变，方向始终指向圆心，故加速度时刻改变．故A错误．
描述圆周运动的物理量及其关系
例题1、
【答案】 B
【解析】 由角速度的定义式：可知，故B正确。
例题2、
【答案】 B
【解析】 秒针的周期为60s，则角速度．故B正确，A、C、D错误。
例题3、
【答案】 D
【解析】 A、线速度等于半径乘以角速度，故A错误；
B、2π除以周期得到的是角速度，故B错误；
C、2πR除以周期T得到的是线速度，故C错误；
D、线速度等于半径乘以角速度，故D正确．
随练1、
【答案】 C
【解析】 AB、由线速度与角速度的关系式v＝ωr可知：在甲乙半径不确定的情况下，无法比较他们线速度和角速度的关系，故A错误，B错误。
C、由可知，周期相等，则角速度一定也相等，故C正确。
D、由可知，周期相等，半径不确定，无法比较线速度，故D错误。
随练2、
【答案】 A
【解析】 A、地球自转绕地轴转动，地球上除两级各点具有相同的角速度。所以a、b、c三点的角速度相等，故A正确；
B、从图中可以看出a和b的半径相等且比c大，根据v＝rω可知，ab两点线速度大小相等，但方向不同，所以a、b两点的线速度不同，故BD错误；
C、根据v＝rω可知，b、c两点线速度大小不等，所以a、b两点的线速度不同，故C错误；
常见的传动装置分析
例题1、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，知A、B两点具有相同的线速度。故A正确。
B、A、B具有相同的线速度大小，又因为A、C具有相同的角速度，根据v＝rω，可知B点的线速度大于C点的线速度。故B错误，C正确。
D、已知A、B两点具有相同的线速度大小，即vA＝vB，根据v＝rω，知小轮转动的角速度是大轮的两倍，故D错误。
例题2、
【答案】 A
【解析】 两个圆盘转动属于：“齿轮传动”模型，两个圆盘的都是逆时针转动，根据v＝rω，圆盘边缘线速度大小相同，角速度和半径成反比，故A正确，BCD错误。
例题3、
【答案】 C
【解析】 转速为单位时间内转过的圈数，因为转动一圈，对圆心转的角度为2π，所以ω＝2πn rad/s，因为要测量自行车前进的速度，即车轮III边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮I和轮II边缘上的线速度的大小相等，据v＝Rω可知：r1ω1＝R2ω2，已知ω1＝2πn，则轮II的角速度ω2ω1．因为轮II和轮III共轴，所以转动的ω相等即ω3＝ω2，根据v＝Rω可知，v＝r3ω3。
随练1、
【答案】 B
【解析】 由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑知三者线速度相同，其半径分别为r1、r2、r3
则：ω1r1＝ω2r2＝ω3r3
故ω3
随练2、
【答案】 C
【解析】 AB两点是同一条传送带相连，所以线速度相同，即，根据公式可得，C正确。
向心力
向心力的理解及来源分析
例题1、
【答案】 C
【解析】 小球受到重力、桌面的支持力和绳的拉力，竖直方向小球没有位移，重力和支持力平衡，绳的拉力提供向心力，故ABD错误，C正确。
例题2、
【答案】 D
【解析】 小物体m与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，首先物体受到重力、圆盘的支持力，物体有沿半径向外运动的趋势，受到圆盘的静摩擦力，三个力的合力提供向心力，故D正确，ABC错误。
例题3、
【答案】 D
【解析】
例题4、
【答案】 D
【解析】 暂无解析
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、对木块M，如果绳子拉力刚好提供向心力，摩擦力等于零，故A正确；
B、因为木块做匀速圆周运动，没有切向加速度，所以摩擦力方向不可能沿切线方向，故B错误；
CD、若绳子拉力不足以提供向心力，则摩擦力沿半径向内；若绳子拉力太大，摩擦力沿半径向外，故C错误，D正确。
随练2、
【答案】 （1）A
（2）B
【解析】 （1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。
（2）图中两球的质量相同，转动的半径相同，则研究的是向心力与角速度的关系。
随练3、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
向心力的计算与应用
例题1、
【答案】 （1）20m／s
（2）60N
【解析】 （1）根据线速度定义可知：
代入数据解得：v＝20m／s。
（2）由向心力公式可知：。
代入数据解得：F＝60N。
例题2、
【答案】 （1）0.3s
（2）2m/s2
（3）3N
【解析】 （1）由竖直向自由落体：
代入数据得：t＝0.3s
（2）水平向匀速直线运动，由L＝vB t代入数据得：
vB＝2m/s
（3）R＝H－h＝0.2m，在B点对于小球：
代入数据解得：F支＝3N
由牛顿第三定律可知：小物块对轨道的压力大小为3N
例题3、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）小球的受力如图：
设绳子的拉力为F，则
（2）小球所受重力和绳子的拉力的合力提供了向心力，，解得：。
随练1、
【答案】 （1）4m／s
（2）15N
【解析】 （1），
；
（2）小球经过C点时根据向心力公式有：
，
。
由牛顿第三定律得：压力F'＝Fc＝15N。
随练2、
【答案】 （1）零
（2）kmg
【解析】 设角速度为ω0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：
kmg＝mr
解得：ω0
（1）当转盘的角速度为ω1时，有：
因为ω1＜ω0，物体所受静摩擦力足以提供物体随转盘做圆周运动所需向心力仍为零，
即：T1＝0
（2）当转盘的角速度为：ω2时，有：
ω2＞ω0，物体所受最大静摩擦力不足以提供物体随转盘做圆周运动所需向心力，
则有：kmg＋T2＝mr
解得：T2kmg。
拓展
1、
【答案】 B D
【解析】 A．由于，只有当半径r不变的前提下，才有角速度大的物体的线速度大，而半径没说是不变的，所以A选项错误；
B．既然是匀速圆周运动了，那么物体的速度的大小一定不变，同一个物体的匀速圆周运动，半径当然也是不变的，由T=可知，周期保持不变，所以B选项正确；
CD．做匀速圆周运动的物体，它的速度的大小是不变的，但速度的方向时刻在变，所以C错误，D正确．
2、
【答案】 B
【解析】 M、N两点都做匀速圆周运动，
同轴转动角速度相同，根据v＝ωt判断两点的线速度。两点是同轴转动，所以角速度相同，故ωM＝ωN，根据v＝ωr可知半径越大，线速度越大，故vM＜vN，所以B正确。
3、
【答案】 A
【解析】 当A被固定时只有B转动，显然B以A的圆心做旋转运动，如果假设齿轮齿径为r，那么B转动的半径为2r，
那么从B位置到C位置的路程为π 2r，因此齿轮B的圆心角为即齿轮B转了一圈，所以箭头指向为竖直向上，所以BCD错误，A正确。
4、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
5、
【答案】 C
【解析】 小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图
小球受重力、和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，故在物理学上，将这个合力就叫做向心力，即向心力是按照力的效果命名的，这里是重力和拉力的合力．
6、
【答案】 C
【解析】 小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，由细线的拉力提供向心力，则有：，解得：，，故ABD错误，C正确。

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