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第九讲 力的分解
知识图谱
课堂引入
关于力的分解，在生活中随处可见。本节学习力的分解规律。
课程目标
1．理解分力及力的分解的概念；
2．理解力的分解与力的合成互为逆运算，且都遵守力的平行四边形定则；
3．掌握按力的作用效果进行分解的一般步骤，学会判断一个力产生的实际效果。
力的分解
知识精讲
一．力的分解
1．概念：力的合成是指几个力的作用效果可以用一个力来替代。而在实际中一个力能产生多个作用效果，为了研究问题的实际需要，我们又必须用几个力去代替这一个力，这就是力的分解。求一个力的分力叫做力的分解。力的分解是力的合成的逆过程。
2．力的分解的原则：平行四边形定则或三角形定则。
三角形定则与平行四边形定则实质上是一样的。
3．说明：两个力的合力唯一确定，一个力的两个分力不是唯一的，如果没有其他限制，对于一条对角线，可以画出无数个不同的平行四边形，即同一个力F可以分解成无数对大小、方向不同的分力。
二．固定解的情况
对一个已知力F，进行分解的几种常见的情况：
已知两个分力F1和F2的方向，一组解；
已知一个分力F1的大小和方向，一组解；
已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，可能无解，有1组解，2组解；
三．力的分解的常用方法
1．根据力的作用效果进行分解
（1）地面上的物体受到斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力，和竖直向上的。
（2）质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力；二是使物体压紧斜面的分力，且，。
（3）质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板（分力F1）， 二是使球压紧斜面（分力F2），此时有：，。
（4）质量为m的光滑小球被悬挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁（分力F2），二是使球拉紧悬线（分力F1)，此时有：，，为挂线与竖直墙壁之间夹角。
（5）质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB（分力F1），二是压缩BC（分力F2），此时有，。
2．正交分解
（1）定义：在许多情况下，根据力的实际作用效果，我们可以把一个力分解为两个相互垂直的分力。把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。
（2）适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成。
（3）步骤：
①建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力分解于坐标轴上。
②正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示。
③在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解。
④分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力。
⑤求共点力的合力：合力大小，合力的方向与x轴的夹角为，则，即。
（4）注意：正交分解法不仅可以应用于力的分解，也可应用于其他任何矢量的分解。我们选取坐标轴时，可以是任意的，不过选择合适的坐标轴可以使问题简化。通常坐标系的选取有两个原则：①使尽量多的矢量处在坐标轴上；②尽量使未知量处在坐标轴上。
力的平行四边形分解
例题1、 两个共点力F1和F2的合力大小为6N，则F1和F2的大小可能是(　　)
A.F1＝2N，F2＝9 B.F1＝2N，F2＝1N
C.F1＝1N，F2＝10N D.F1＝4N，F2＝8N
例题2、[多选题] 下列说法中正确的是(　　)
A.一个2N的力可以分解为7N和6N的两个力
B.一个2N的力可以分解为8N和12N的两个力
C.一个5N的力可以分解为两个5N的力
D.一个8N的力可以分解为4N和3N的两个力
例题3、 如图所示，重物挂在弹性很好的橡皮筋的中点，在橡皮筋的两端点S、P相互缓慢靠近的过程中，其长度（ ）
A.先增加后缩短 B.逐渐增加 C.逐渐缩短 D.保持不变
随练1、 有两个共点力，一个是40N，另一个是F，它们的合力是100N，则F的大小有可能是（ ）
A.40N B.50N C.100N D.160N
随练2、 如图所示的三脚架，AB段水平，BC段与竖直方向成53°角，B端挂有一个重3 N的物体，B点受到一个F＝3 N，方向向下的作用力，试将此力分解，求其两个分力的大小及方向．
按力的作用效果分解
例题1、 在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)
A.， B.， C.， D.，
例题2、[多选题] 将物体所受重力按力的效果进行分解，下列各图中正确的是（ ）
A. B. C. D.
例题3、 如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成300，若把球O的重力按照其作用效果分解，
（1）求两个分力的大小；
（2）画出小球的受力分析图并写出小球所受这几个力的合力大小．
随练1、 如图所示，倾角为θ的斜面上固定有一竖直挡板，重为G的光滑小球静止时对挡板的压力为FN，小球的重力按照产生的作用效果可分解为（　　）
A.垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且FN=Gtanθ
B.垂直于斜面的分力和水平方向的分力，且FN=Gsinθ
C.垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且FN=Gtanθ
D.垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，且FN=Gsinθ
随练2、 下图中按力的作用效果分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
正交分解法
例题1、 如图，电灯的重力G＝10N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则（注意：要求按效果分解和正交分解两种方法求解）（ ）
A. B.FA＝10N C. D.FB＝10N
例题2、 如图所示，、、和为同一水平面内的四个共点力，它们的大小分别是、、、，它们之间的夹角依次为、和，的方向为正东方向．试用正交分解法求它们合力的大小和方向．
随练1、 如图，用一根绳子a把物体挂起来，再用另一根水平的绳子b 把物体拉向一旁固定起来．物体的重力是50N，绳子a与竖直方向的夹角θ=37°，绳子a与b对物体的拉力分别是多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8不画受力分析示意图不给分，要求用正交分解法做，其他做法不给分）
力的分解中确定解问题
例题1、 将力F分解成F1，F2两个分力，如已知F1的大小及F2与F的夹角θ，且θ＜90°，则(　　)
A.当F1＞Fsinθ时，则F2一定有两个解
B.当F＞F1＞Fsinθ时，则F2一定有两个解
C.当F1=Fsinθ时，则F2有唯一解
D.当F1＜Fsinθ时，F2无解
例题2、 将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时(　　)
A.有无数组解 B.有两组解 C.有唯一解 D.无解
例题3、 关于力的分解，下列说法中不正确的是(　　)
A.一个力可以分解成两个比它大的分力
B.一个力可分解成两个大小跟它相等的力
C.如果一个力和它的一个分力的大小方向确定，那么另一个分力就是唯一的
D.如果一个力以及它的一个分力大小和另一个分力的方向确定，这两个分力就完全确定了
例题4、[多选题] 如图所示，将一个力F分解为两个力，其中一个力F1的方向与力F的夹角为α，另一个力的大小为F2，则关于力F的分解的下列说法中正确的是(　　)
A.若F2＝Fsinα时，有唯一解 B.若F2＞F时，无解
C.若F2＜Fsinα时，有唯一解 D.若Fsinα＜F2＜F时，有两个解
随练1、 已知两个共点力的合力为，分力的方向与合力F的方向成30 角，分力的大小为.则(　　)
A.的大小是唯一的 B.的方向是唯一的
C.有两个可能的方向 D.可取任意方向
随练2、 将一个大小和方向都已知的力分解为两个力，下列说法错误的是( )
A.当两个分力的方向确定后，分解是唯一的
B.当一个分力的方向和大小确定后，分解是唯一的
C.当一个分力的方向和另一个分力的大小确定后，分解是唯一的
D.当两个分力的大小确定后，分解是唯一的
课堂小结
一．力的分解
力的分解
遵循原则：平行四边形
特点：一个力分解成两个大小、方向均不同的分力，有无数解；
二．固定解的情况
对一个已知力进行分解的几种常见的情况
已知两个分力的方向；
已知一个分力的大小和方向；
已知一个分力的方向和另一个分力F2的大小；
三．力的分解的常用方法
按力的作用效果分解（实际问题的分解方法）
正交分解法
拓展
1、 已知力F的大小为10N，要把它分解成两个力，以下关于两分力大小不可能的是(　　)
A.6N，6N B.3N，4N
C.100N，100N D.428N，419N
2、 将一个力F分解为两个力F1和F2，那么下列说法中错误的是（ ）
A.F是物体实际受到的力 B.F1和F2不是物体实际受到的力
C.物体同时受到F1、F2和F三个力的作用 D.F1和F2共同作用的效果与F相同
3、 如图所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球．若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图中的(　　)
A.1和4 B.3和4 C.2和4 D.3和2
4、 将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时(　　)
A.有无数组解 B.有两组解 C.有唯一解 D.无解
5、 已知力F的一个分力为F1，F1跟F的夹角θ为30°，F1大小未知．另一个分力F2大小是，方向未知．则F1的大小可能是( )
A. B. C. D.
答案解析
力的分解
力的平行四边形分解
例题1、
【答案】 D
【解析】 暂无解析
例题2、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 根据两个分力的合力在两个分力之差与两个分力之和之间，分析两个力的大小可能值。
A、7 N和4 N的合力范围是3N≤F≤11N，所以不可能是大小为2N分解得两个力，故A错误；
B、9 N和9 N的合力范围是0≤F≤18N，所以可能是大小为2N分解得两个力，故B正确；
C、4N和1N的合力范围是3N≤F≤5N，所以不可能是大小为6N分解得两个力，故C错误；
D、4 N、3N的合力范围是1N≤F≤7N，所以不可能是大小为8N分解得两个力，故D错误；
例题3、
【答案】 C
【解析】 由题意可知，两根橡皮筋的合力是一定的，根据力的平行四边形定则可知，当两夹角在减小时，导致两分力大小在减小，因此橡皮筋的长度在缩短，故C正确，ABD错误。
随练1、
【答案】 C
【解析】 两力合成时，合力范围为：|F1＋F2|≥F≥|F1－F2|；故60N≥F≥140N，所以可能的是C。
随练2、
【答案】 4 N(方向由A指向B)，5 N(方向由B指向C)
【解析】 根据力的作用效果，力F可以分解为沿AB方向的拉力F1和沿BC方向的压力F2．作平行四边形，如图所示：可知， N(方向由A指向B)， N(方向由B指向C)
按力的作用效果分解
例题1、
【答案】 C
【解析】 已知重力和两个分力的方向，根据平行四边形定则作力图，如图所示，
由图得到：，。
例题2、[多选题]
【答案】 A B D
【解析】 A、重力产生了使物体下滑的效果及压斜面的效果；故两分力即图中所示；故A正确；
B、重力产生了向两边拉绳的效果，故B正确；
C、重力产生了向两墙壁的挤压的效果，故两分力应垂直于接触面；故C错误；
D、重力产生了拉绳及挤压斜面的效果，故作图正确；故D正确；
例题3、
【答案】 （1）和
（2）见解析；0
【解析】 （1）已知重力和两个分力的方向，根据平行四边形定则作力图，如图所示，由图得到：
，
（2）小球受到重力、挡板AB的支持力以及挡板AC的支持力，受力如图：
由于小球处于平衡状态，所以三个力的合外力等于0．
随练1、
【答案】 A
【解析】 按照作用效果分解，可以将重力分解为垂直于 斜面方向和水平方向两个分力，水平方向上的分力大小等于小球对挡板的压力，根据平行四边形定则得，FN=Gtanθ．故A正确，B、C、D错误．
故选A．
随练2、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
正交分解法
例题1、
【答案】 A D
【解析】 方法1．将电灯所受的重力G沿绳子方向进行分解，如图所示。由几何知识得：
FB＝G＝10N 故AD正确，BC错误
方法2．对节点O受力分析如图：
由平衡条件得竖直方向：FAsinθ＝G
解得：
水平方向：FAcosθ＝FB
解得：FB＝10N
故AD正确，BC错误。
例题2、
【答案】 1、建立坐标系如图．
2、根据平行四边形定则将各力垂直分解到两个坐标轴上．
3、分别求出轴和轴上的合力，
轴方向的合力
轴方向的合力
所以四个力的合力大小为，方向东偏北60°．
即：四个力的合力大小为，方向东偏北．
【解析】 建立坐标系：以四个力的作用点为原点，以正东方向为轴正方向，以正北方向为轴方向，将分解到两个坐标轴上，分别求出轴和轴上的合力，再求解四个力的合力的大小和方向．
随练1、
【答案】 62.5N；37.5N．
【解析】 以物体为研究对象进行受力分析，做出力图如图所示．
设绳子A对物体的拉力大小为FA，绳子B对物体的拉力大小为FB：
以水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系，
由共点力的平衡条件得：
FB﹣FAsin37°=0 ①
FAcos37°﹣G=0 ②
代入数据联立求解①②得
FA=62.5N，FB=37.5N
答：绳子a和b对物体的拉力分别是62.5N、37.5N．
力的分解中确定解问题
例题1、
【答案】 B C D
【解析】 A．当F＞F1＞Fsinθ时，根据平行四边形定则，如图，有两组解．若F1＞F，只有一组解．故A错误，B正确；
C．当F1=Fsinθ时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解．故C正确；
D．F1＜Fsinθ时，分力和合力不能构成三角形，无解．故D正确．
例题2、
【答案】 B
【解析】 已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fsin30°=5 N，而另一个分力大小大于5 N小于10 N，所以分解的组数有两组解．如图．故B正确，A、C、D错误．
例题3、
【答案】 D
【解析】 AB．力的分解的本质力的等效替代，就是用同时作用于物体的几个力产生的效果代替一个力的作用效果，合力与分力遵循平行四边形定则，故分力的大小可能大于、小于、等于合力的大小，故AB正确；
C．已知一分力的大小和方向，如图，有唯一解故C正确；
D．已知一个分力的大小和另一个分力方向，如图，有可能有2组解故D错误．
例题4、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
随练1、
【答案】 C
【解析】 已知合力的大小为N，一个分力的方向已知，与成夹角，另一个分力的最小值为，根据三角形定则可知分解的组数．已知一个分力有确定的方向，与成夹角，另一个分力的最小值为，>25N，所以分解的组数有两组解，如图．故C正确，ABD错误．
故选：C．
随练2、
【答案】 C D
【解析】 A．已知两个分力的方向，根据平行四边形定则，将已知力分解作出的平行四边形只有一个，这两个分力大小是唯一确定的．故A正确；
B．已知一个分力的大小和方向，根据平行四边形定则，将已知力分解作出的平行四边形只有一个，这两个分力大小是唯一确定的．故B正确；
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向，根据平行四边形定则，将已知力分解，可能有两解，可能有一解，也可能无解．故C错误；
D．已知两个分力的大小，两个分力的方向不确定，根据平行四边形定则，将已知力分解作出的平行四边形不止一个，这两个分力大小不确定．故D错误．本选择错误的，故选：CD．
拓展
1、
【答案】 B
【解析】 A、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，6N和6N的合力范围为[0N，12N]，可能为10N。
B、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，3N和4N的合力范围为[1N，7N]，不可能为10N。
C、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，100N和100N的合力范围为[0N，200N]，可能为10N。
D、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，428N和419N的合力范围为[9N，847N]，可能为10N。
2、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
3、
【答案】 B
【解析】 小球重力产生两个效果，一是使绳子拉伸，二是使斜面受压，故应按此两个方向分解，分别是3和4，故B正确，ACD错误．故选：B．
4、
【答案】 B
【解析】 已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fsin30°=5 N，而另一个分力大小大于5 N小于10 N，所以分解的组数有两组解．如图．故B正确，A、C、D错误．
5、
【答案】 A C
【解析】 如图所示，根据平行四边形定则，通过几何关系可知，F2与F的夹角为30°和F2与F的夹角为90°，这两种情况下，F2的大小均满足题设条件．此时F1的两个可能值分别是，．故AC正确，BD错误．
故选：AC．

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