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《不等式》专题16-1 二次式常见题型
（4套，8页）
知识点1：
知解反求系数： 知道解集，反求系数，直接把解集的两个端点代入式子当中，并令式子等于零，即可解出系数。
典型例题：
不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a=[endnoteRef:0]_______, b=________。 [0: 答案：a=－2, b=－2；
　　【答案】由不等式的解集为{x|－3＜x＜2}知a＜0，且方程ax2+bx+12=0的两根为－3，2。
　　　　　　由根与系数关系得
　　　　　　解得a=－2, b=－2。
]
随堂练习：
不[endnoteRef:1]等式x2+mx－n<0的解集为（4，5），求关于x的不等式nx2+mx－1>0的解集。 [1: 答案：；
　　思路点拨：由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
　　解析：由题意可知方程的两根为和
　　　　　由韦达定理有，
　　　　　∴，
　　　　　∴化为，即
　　　　　，解得，
　　　　　故不等式的解集为.
　　总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
]
已[endnoteRef:2]知ax2＋2x＋c>0的解为，试求a、c，并解不等式－cx2＋2x－a > 0.
[2: 答案：；
　　【答案】由韦达定理有：，，∴,.
　　　　　　∴代入不等式得，
　　　　　　即，，解得，
　　　　　　故不等式的解集为：.
]
知识点2：
实数范围内的恒成立问题： 通过分析图像，确定开口方向和△，解不等式组即可。理解下面几种情况：
注意： （1）二次项有系数的时候，要考虑系数为零的情况。 （2）出现“有解”的字眼，是不等式“能成立”问题，要注意分析。
典型例题：
已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是[endnoteRef:3]______. [3: 答案：；]
不等式，
（1）若不等式解集为全体实数，则k的取值范围为 ；
（2）若不等式无解，则k的取值范围为 ；
（3）若不等式有解，则k的取值范围为[endnoteRef:4] ；
[4: 答案：k≤0，k≥2，k<2；]
随堂练习：
若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是[endnoteRef:5] ． [5: 答案：或；
第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立，
即解得或
]
不[endnoteRef:6]等式的解集是全体实数，则a的取值范围是( )
A． 　　B．　　　C． 　　D． [6: 答案：C；　]
若关于x的不等式的解集为空集，求m的取值范围.（[endnoteRef:7]）
[7: 答案：；
　　【答案】关于的不等式的解集为空集
　　　　　　 即的解集为R
　　　　　　 当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为：.
]
知识点3：
值域、最值： 值域：函数值的集合叫做函数的值域． 一次函数，开方数，可以直接用不等式分析值域；二次函数和反比例函数最好用图像分析，因为直接代数字，容易出错。
典型例题：
已知函数f(x)＝(x－1) ，当x∈[0，3]时，f(x)值域是 ；当x∈[0，＋∞)时，f(x)值域是 ；
当x∈[－1，0]时，f(x)值域是[endnoteRef:8] ； [8: 答案：，，；]
求值域：（[endnoteRef:9]) [9: 答案：；]
随堂练习：
已知函数f(x)＝－x ＋2x，当x∈[－5，2]时，值域是 ；当x∈[0，＋∞)时，值域是 ；
当x∈[2，5]时，值域是[endnoteRef:10] ； [10: 答案：，，；]
求值域：（[endnoteRef:11] ) [11: 答案：；]
知识点4：
恒成立： 若在区间D上任意实数使不等式成立，则等价于在区间D上； 若在区间D上任意实数使不等式成立，则等价于在区间D上的. 为了方便理解，可以类比一下： 例子：隔壁班“所有人”都比你大，只需要令隔壁班最 的人比你大即可。 隔壁班“所有人”都比你小，只需要令隔壁班最 的人比你小即可。 常见字眼：全部、所有、任意…… 注意包含和不包含关系。 能成立： 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上； 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的. 为了方便理解，可以类比一下： 例子：隔壁班存在“有人”比你大，只需要令隔壁班最 的人比你大即可。 隔壁班存在“有人”比你小，只需要令隔壁班最 的人比你小即可。 常见字眼：有解、存在、不是空集…… 注意包含和不包含关系。
典型例题：
不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。（[endnoteRef:12]） [12: 答案：；]
不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。（[endnoteRef:13]） [13: 答案：；]
存在，使得不等式在上成立，求实数的取值范围。（[endnoteRef:14]） [14: 答案：；]
随堂练习：
若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为 (　[endnoteRef:15]　)．
A．1 B．－1 C．－3 D．3 [15: 答案：C；
解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
]
不等式在上不是空集，求实数a的取值范围。（[endnoteRef:16]） [16: 答案：；]
已知关于x的方程，在－1≤x≤1上有解，求实数a的取值范围。（[endnoteRef:17]） [17: 答案：，两种方法思考一下；]
知识点5（选讲）：
主参换位法： 不等式中知道系数范围，求自变量范围，常用主参换位法。顾名思义，把系数看成是自变量，自变量看成是系数，然后用之前的最值法求范围即可。
典型例题（选讲）：
若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围；（[endnoteRef:18]） [18: 答案：；]
随堂练习（选讲）：
对于满足|p|2的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围。（[endnoteRef:19]） [19: 答案：x<－1或x>3；
解：不等式即(x－1)p＋x2－2x＋1>0，设f(p)＝ (x－1)p＋x2－2x＋1，则f(p)在[－2，2]上恒大于0，故有：
即解得：∴x<－1或x>3.
]
其他6：
函数y＝的定义域是(　[endnoteRef:20]　)
A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4解析　由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，
∴x≥3，或x≤－4.]
抛物线y=－x2+5x－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是[endnoteRef:21]________。 [21: 答案：；]
不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为[endnoteRef:22]（ ）
　　A．（－3a，4a）　　　 B．（4a，－3a） 　　　C．（－3，－4） 　　　D．（2a，6a）
[22: 答案：B；]
有一批影碟机原销售价为800元，在甲、乙两个商店均有销售，甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元．依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律按原价的75％销售，某单位需购买一批影碟机，去哪家商场购买花费较少？[endnoteRef:23] [23: 答案：若少于10台，去乙商场花费较少；若购买10台，去甲，乙商场一样；若购买超过10台，去甲商场花费较少；]
《不等式》专题16-2 二次式的常见题型
不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　[endnoteRef:24]　)
A. B. C． D．R [24: 答案　D；
解析　∵Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8＜0，
∴抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1＞0恒成立，即不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
则不等式ax2＋bx＋c<0的解集为___[endnoteRef:25]_____． [25: 答案：{x|－2解析　观察对应值表，可知解集为{x|－2求函数的定义域．（[endnoteRef:26]） [26: 答案：[] ； ]
“00”成立的（ [endnoteRef:27] ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[27: 答案：A；]
若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的值的集合是(　[endnoteRef:28]　)．
A．{a|0解析　若a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0若两个正实数x,y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ [endnoteRef:29] ）
A.m<－2或m>4 B.m<－4或m>2 C.－2已知函数y＝x ＋x＋1，当时，值域是 ；当x∈[1，＋∞)时，值域是 ；
当x∈[0，2]时，值域是[endnoteRef:30] ；. [30: 答案：，，；]
求函数y＝x－x (－1≤x≤1)的最大值，最小值．（[endnoteRef:31]） [31: 答案：；]
若0A. B. C. D. [32: 答案：D；
解析　∵01，∴t<.
∴(x－t)<0 t已知[endnoteRef:33]关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为（1，2），求关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集. [33: 答案：；
　　【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
　　　　　　，即，解得或.
　　　　　　∴的解集为：.
]
设集合A={x|x2－2x－8＜0}, B={x|x2+2x－3＞0}, C={x|x2－3ax+2a2＜0}，若C(A∩B)，
求实数a的取值范围．（[endnoteRef:34]） [34: 　答案：；
　【解析】：
　　解不等式x2－2x－8＜0，得－2＜x＜4，所以A={x|－2＜x＜4}
　　解不等式x2+2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，所以B={x|x＜－3，或x＞1}
　　所以A∩B={x|1＜x＜4}
　　解方程x2－3ax+2a2=0，得到x1=a, x2=2a，
　　由C(A∩B)，分如下两种情况讨论：
　　（1）C=ф，所以有x2－3ax+2a2≥0恒成立， 对于方程x2－3ax+2a2=0，△＝a2≤0， ∴a＝0.
　　（2）C≠，所以有，　 从而得到。
　　综上所述，实数a的取值范围是]
不等式在上恒成立，求实数a的取值范围。（[endnoteRef:35]） [35: 答案：；]
[endnoteRef:36]已知函数，
(Ⅰ)若 x 的取值范围是集合B，B≠ ，试求 a 的取值范围.
(Ⅱ) 若函数在x∈(2，3)上有意义， 试求a的取值范围.
(Ⅲ)若y＜1的解集为(2，3)，试求a的值.
[36: 答案：或；；；
这三问中，第(Ⅰ)问是能成立问题，第(Ⅱ)问是恒成立问题，第(Ⅲ)问是恰成立问题.
(Ⅰ) 的定义域非空，相当于存在实数，使成立，
即的最大值大于0成立，
解得 或.
(Ⅱ)在区间上有意义，等价于在恒成立，即的最小值大于0.
解不等式组
或
或解得
(Ⅲ)的解集为，等价于不等式的解集为;于是有
，
这等价于方程的两个根为2和3，于是可解得.]
对任意a∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　[endnoteRef:37]　)
A．13 C．12 [37: 答案：B；
解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0恒成立且a∈[－1，1]
x<1或x>3.
]
设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ [endnoteRef:38] ）
[38: 答案：D；
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合.]
某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？[endnoteRef:39] [39: 答案：t%应控制在3%到5%范围内；
解　由题意可列不等式如下：
·24 000·t%≥9 000 3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
]
《不等式》专题16-3 二次式的常见题型
不等式的解集为____[endnoteRef:40]________． [40: 答案：{x|}； ]
不等式－4解析　
∴－3函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是(　[endnoteRef:42]　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，－6)∪[2，＋∞) [42: 答案：B；
解析　∵∴x≤－6或x>2.
]
不等式(x－1)≥0的解集是(　[endnoteRef:43]　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1} [43: 答案：C；
解析　当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
]
不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是[endnoteRef:44]（ ）
　　A． 　　B． 　　C．　　 D．
[44: 答案：C]
若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不等式也成立，则a的取值范围是[endnoteRef:45]________________. [45: 答案：； ]
二次函数的图像的顶点在x轴上，则k的值为（　[endnoteRef:46]）
A．－9 　　　B．9　　　 C．3 　　　D－3 [46: 答案：A；]
关于x的不等式ax2－2ax＋2a＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围为___[endnoteRef:47]_____． [47: 答案：[0，＋∞)；
解析　当a≠0时，由题意得，即，解得a>0.
当a＝0时，恒有3>0，不等式也成立．故a的取值范围是[0，＋∞)．]
设正数a,b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ [endnoteRef:48] ） A.m≥3 B.m≤3 C.m≤6 D.m≥6 [48: 答案：D；]
已知函数时，值域是 ；当x∈[－3，1]时，值域是 ；
当x∈R时，值域是[endnoteRef:49] ； [49: 答案：，，；]
求值域f(x)＝x ＋x－1，x∈[0，3]：（[endnoteRef:50]) [50: 答案：；]
不等式x2－2ax－15a2 > 0（其中a>0）的解集为（ [endnoteRef:51] ） [51: 答案：（－∞，－3a）∪（5a ，+∞）；]
已知不等式恒成立。求实数a的取值范围。（[endnoteRef:52]） [52: 答案：； ]
不等式在上有解，求实数的取值范围。（[endnoteRef:53]） [53: 答案：；]
设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，求x的范围.[endnoteRef:54] [54: 答案：；
解析：原不等式变为(x2－1)m＋(1－2x)＜0，构造线段f(m)＝(x2－1)m＋1－2x，－2≤m≤2，则f(－2)＜0，且f(2)＜0.]
下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数的图象只可能是（ [endnoteRef:55] ）
[55: 答案：B；]
若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 [56: 答案：C；
解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
∴x2＋50x－30 000≥0，x≥150.
]
《不等式》专题16-4 二次式的常见题型
在下列不等式中，解集是的是（ [endnoteRef:57] ）
A． B． C． D． [57: 答案：D；]
已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}．求：M∩N.[endnoteRef:58] [58: 答案：{x|－1解　由－9x2＋6x－1<0，得9x2－6x＋1>0.
即(3x－1)2>0.解得x≠.
∴M＝{x|x∈R，且x≠}．
由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0.
解得－1∴N＝{x|－1∴M∩N＝{x|－1使有意义的x的取值范围是[endnoteRef:59]（ ）
A． B．　　C． 　D． [59: 答案：B；]
设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解是(　[endnoteRef:60]　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) [60: 答案：A；
解析　f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．
]
若不等式的解集是，则的值为（ [endnoteRef:61] ）
A．14 B．－10 C．10 D．－14 [61: 答案：D；]
关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．[endnoteRef:62] [62: 答案：－3≤k<2；
解　由x2－x－2>0，可得x<－1或x>2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2.
]
若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是___[endnoteRef:63]_____． [63: 答案：a≥1；
解析　∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
]
若[endnoteRef:64]关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围. [64: 答案：；
　　【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.
　　　　　　 当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意
　　　　　　 当时，只需，
　　　　　　 即，解得，
　　　　　　 综上，的取值范围为：.
]
若不等式的解集是，
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为R？（[endnoteRef:65]） [65: 答案：a=3，，-6≤b≤6；]
已知，求的最大值.（[endnoteRef:66]） [66: 答案：；]
（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ [endnoteRef:67] ）
A.m≤0 B.m≤2 C.m≤6 D.m≥8 [67: 答案：ABC；]
若1< t，则不等式(x－t)>0的解集为(　[endnoteRef:68]　)． [68: 答案：；]
已知对任意恒成立，试求实数a的取值范围；（[endnoteRef:69]） [69: 答案：；
解：等价于对任意恒成立，又等价于时，的最小值成立.
由于在上为增函数，
则，所以 ]
存在，使得不等式在内成立，求实数的取值范围。（[endnoteRef:70]）
[70: 答案：；]
对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的x的取值范围是[endnoteRef:71]__________.
[71: 答案：； ]
不等式ax2-x-c>0的解集为，则y=cx2-x-a的图像为（ [endnoteRef:72] ）
[72: 答案：C；]
国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？[endnoteRef:73] [73: 答案：2≤k≤8；
解　设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
因此，当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．]

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