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《不等式》专题2-1 不等式性质
（4套5页，含答案）
知识点：
不等式的基本性质： ①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 若＜，则+ ；若＜，则- b-； ②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若＞，＞0则 （或 ）； ※③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若＞，＜0则 （或 ）. 做选择题的时候，可以用赋值法，提高做题的速度和准确率。 常用的不等式的基本性质： (1)a>b bb，b>c a>c(传递性)； (3)a>b a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 acb，c>d a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0 ac>bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn； (8)a>b>0，n∈N，n≥2 >.
典型例题：
若＜，则一定满（ [endnoteRef:0] ） A. ＞0 B. ＜0 C. ≥0 D. ≤0 [0: 答案：B；]
已知a0，在下列空白处填上恰当的不[endnoteRef:1]等号：
①若ad>bd，则d____0； ②(a-2)c_____(b-2)c； ③； ④。 [1: 答案：<，<，>，>；]
随堂练习：
对于任意实数a、b、c、d，命题
①； ②
③； ④；
⑤． 其中真命题的个数是（ [endnoteRef:2] ） A.1　 B.2 　C.3 　D.4 [2: 答案：A]
知识点：
比较大小： 一般用作差法，a－b>0 a>b； a－b＝0 a＝b； a－b<0 aa，b>0， a>b； a＝b； a典型例题：
若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是____[endnoteRef:3]____． [3: 答案　f(x)>g(x)；
解析　∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
]
随堂练习：
若x∈R，则与的大小关系为____[endnoteRef:4]____． [4: 答案　≤；
解析　∵－＝＝≤0，
∴≤.
]
已知x、y均为正数，设，, 试比较M和N的大小（[endnoteRef:5]） [5: 答案：证明：
]
知识点：
先凑数再相加： 不同的不等式，只能相加，不能相减。
典型例题：
若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为___[endnoteRef:6]_____． [6: 答案　[－1,6]；
]
已知f(x)＝3x－y，且－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，求f(x)的取值范围．[endnoteRef:7] [7: 答案：1≤f(x)≤7.]
随堂练习：
已知：,,求的范围。（[endnoteRef:8]） [8: 答案：；]
已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围．[endnoteRef:9]
[9: 答案：－1≤f(3)≤20.
即f(3)的取值范围是[－1,20]．]
其他：
一个两位数个位数字是a，十位数字是b，且这个两位数不小于60，则可用不等关系表示为_____[endnoteRef:10]___． [10: 答案　60≤10b＋a≤99；
]
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t。生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。[endnoteRef:11] [11: 答案：设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则；]
《不等式》专题2-2 不等式性质
对于任意实数a、b、c、d，命题
①； ② ；
③； ④； ⑤．
其中真命题的个数是（ [endnoteRef:12] ）　　　　Ａ．1　　　Ｂ．2　　　Ｃ．3　　　Ｄ．4 [12: 答案：A；]
下列各题中，结论正确的是（ [endnoteRef:13] ）
A．若a＞0，b＜0，则b／a＞0 B．若a＞b，则a－b＞0
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则b／a＜0
[13: 答案：B；]
设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　[endnoteRef:14]　)
A．a>b B．a解析　a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.
]
若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则(　[endnoteRef:15]　)
A．a解析　∵令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
]
已知1(1)2a＋b； (2)a－b； (3).[endnoteRef:16] [16: 答案：5<2a＋b<8，－3解　(1)∵1(2)∵3(3)∵3]
已知：,,求的范围。（[endnoteRef:17]） [17: 答案：； ]
大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T应满足关系为(　[endnoteRef:18]　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 [18: 答案：C；]
某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是 (　[endnoteRef:19]　)．
A. B. C. D. [19: 答案：D；
解析　“不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.]
《不等式》专题2-3 不等式性质
若，则下列结论一定成立的是（ [endnoteRef:20] ）
A． B． C． D． [20: 答案：B
【解析】由得到.当时，由不等式同向可乘性知，即；当时，；当时，，由不等式同向可乘性知，故，.
【考点】不等式、指数、对数的基本性质，不等式性质.]
若a＜0，则下列不等关系错误的是（ [endnoteRef:21] ）
A.a＋5＜a＋7 B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.a／5＞a／7
[21: 答案：D；]
设m不等于n, x=m-mn y=nm-n ，则x , y的大小关系为 （ [endnoteRef:22] ）
A、x>y B、x=y C、y>x D、与m ,n的取植有关
[22: 答案：A；]
设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．[endnoteRef:23] [23: 答案：解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．]
已知α∈，β∈，求α－2β的范围．[endnoteRef:24] [24: 答案：解　∵<β<π，∴－2π<－2β<－π.
又0<α<，∴－2π<α－2β<－.
]
已知：,,求的范围。（[endnoteRef:25]） [25: 答案：； ]
某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m．用不等式表示为(　[endnoteRef:26]　)
A．v≤120 km/h或d≥10 m B. C．v≤120 km/h D．d≥10 m [26: 答案　B；
解析　考虑实际意义，知v≤120(km/h)，且d≥10(m)．]
b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个
不等式：_____[endnoteRef:27]___. [27: 答案：>；
解析　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
]
《不等式》专题2-4 不等式性质
若m＜ｎ，则下列各式中正确的是（ [endnoteRef:28] ）
A.m－3＞ｎ－3 B.3m＞3n C.－3m＞－3n D.m／3－1＞n／3－1
[28: 答案：C；]
若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为（ [endnoteRef:29]）
A．a＞０　　B．ａ＜０　　C．ａ≥0 D．a≤0
[29: 答案：A；]
设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．[endnoteRef:30]
[30: 答案：解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．]
设a>b>0，试比较与的大小．[endnoteRef:31] [31: 答案：解　方法一　作差法
－＝ ＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0. ∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1. ∴>.]
若α，β满足－<α≤β≤，则α－β的取值范围是(　[endnoteRef:32]　)
A．－π≤α－β<0 B．－π<α－β≤0 C．－π<α－β<π D．－π≤α－β≤π [32: 答案　B；∴－π<α－β≤0.]
已知：,,求的范围。（[endnoteRef:33]） [33: 答案：； ]
限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就
是 [endnoteRef:34] 。 [34: 答案：v≤40；]
某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系。[endnoteRef:35] [35: 答案：设至少答对x题，则16x－2(15－x)≥60；
]