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《不等式》专题8-1 基本不等式涉指数、对数、三角等
（6套4页含答案）
知识点：
涉指数、对数、三角等：
典型例题：
已知：， 则 的最大值是＿[endnoteRef:0]＿＿
[0: 答案：9；
提示： 6 ＝ ≥2·， ∴≤9 。
故的最大值是9，此时x＝y＝。]
若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为_____[endnoteRef:1]___． [1: 答案：2；
解析　∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
]
下列函数中最小值是4的是（ [endnoteRef:2] ）
A. B. C. D. [2: 答案：C；]
随堂练习：
设，且，则的最小值是（ [endnoteRef:3] ）
A．6 B． C． D． [3: 答案：B；]
已知x>0，y>0且x＋y＝5，则lgx＋lgy的最大值是 [endnoteRef:4] ． [4: 答案：；]
下列函数中，最小值为4的是（　 [endnoteRef:5]　）Ａ． Ｂ． Ｃ．　 Ｄ． [5: 答案：C；]
《不等式》专题8-2 基本不等式涉指数、对数、三角等
（填空4）已知则[endnoteRef:6] [6: 答案：；]
设的最小值是( [endnoteRef:7] )
A. 10 B. C. D. [7: 答案：D；]
点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是[endnoteRef:8]_______. [8: 答案：； ]
已知( [endnoteRef:9] )
Ａ. B.2 Ｃ. 6 D. [9: 答案：C]
（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（[endnoteRef:10] ）
A. B.a2+b2≥ C. D.log2a+log2b ≤ -2 [10: 答案：ABCD；]
求，（0）的最大值。 （[endnoteRef:11]） [11: 答案：；]
（多选）已知，则（[endnoteRef:12] ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C． D． [12: 答案：BC；
对于选项A，因为，所以
，选项A错误；
对于选项B，因为，当且仅当，
即时等号成立，所以选项B正确；
对于选项C，因为，所以，，故选项C正确；
对于选项D，设，则，所以在上单调递增；因为，所以，即，所以，即，故选项D错误. 综上选BC.
]
《不等式》专题8-3 基本不等式涉指数、对数、三角等
已知函数g(x)＝，g(a)g(b) ＝2，若a＞0且b＞0，则ab的最大值为（　　[endnoteRef:13]）
A．　　　B．　　　 C. 2 　　　D．4 [13: 答案：B；]
若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是___[endnoteRef:14]_____． [14: 答案：6；
解析　3a＋3b≥2＝2＝6.
当且仅当a＝b＝1时，取等号．]
已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．[endnoteRef:15] [15: 答案：2；
解　法一　由已知条件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10.
则＋＝≥＝2，
所以min＝2，当且仅当即时等号成立．
法二　由已知条件lg x＋lg y＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10，
＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当即时取等号)．]
函数y＝log2 (x>1)的最小值为(　[endnoteRef:16]　)
A．－3 B．3 C．4 D．－4 [16: 答案：B；
]
（多选）已知 a>0，b>0，且 a2+b2=2，则下列不等式中一定成立的是（ [endnoteRef:17] ）
A. ab1 B. C. lga+lgb0 D. a+b 2 [17: 答案：AD；
]
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是____[endnoteRef:18]____
(写出所有正确命题的编号)．
①若ab>c2，则C<； ②若a＋b>2c，则C<；
③若a3＋b3＝c3，则C<； ④若(a＋b)c<2ab，则C>； ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>. [18: 答案：①②③；
　[解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．
对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为0对于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC3即
8cosC＋2>3≥6，则cosC>，因为0对于③，a3＋b3＝c3可变为3＋3＝1，可得0<<1，0<<1，所以1＝3＋3<2＋2，所以c2对于④，c<2ab可变为2×>＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；
对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
]
下列函数中最小值为4的是（[endnoteRef:19] ）
A. B. C. D. [19: 答案：C；
]
《不等式》专题8-4 基本不等式涉指数、对数、三角等
已知x， y满足，则的最小值是[endnoteRef:20] . [20: 答案：；]
若，则的最大值是 [endnoteRef:21] . [21: 答案：；
【解析】因为，所以，即，当且仅当，即时取得最小值.]
己知函数，若，且，则的取值范围是[endnoteRef:22]____________． [22: 答案：；]
设，若，则的最大值为[endnoteRef:23]___. [23: 答案：1；]
已知，且，则下列不等式中，正确的是（[endnoteRef:24] ）
A． B． C． D． [24: 答案：D；
【解析】结合对数函数性质及基本不等式可知选D.]
已[endnoteRef:25]知: 在中， ∠A，∠B，∠C， 的对边分别是a， b， c，则求满足下列条件的∠B 的 范围分别是什么。⑴若 a＝2， b＝1。 ⑵若 。 [25: 答案：，；
解：⑴ ∵cosB＝＝
故∠B取值范围分别是 。 取等号时 c＝.
⑵ ∵cosB＝＝
故∠B取值范围分别是 . 取等号时 a＝c.
]
下列结论正确的是（ [endnoteRef:26] ）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值 [26: 答案：B；]
《不等式》专题8-5 基本不等式涉指数、对数、三角等
若实数a、b满足（ [endnoteRef:27]） A．8 B．4 C． D． [27: 答案：B]
已知的最小值是 （ [endnoteRef:28] ） A. B. C.6 D.7 [28: 答案：D；
解析：。]
已知，且求的最大值及相应的x，y的值[endnoteRef:29]。 [29: 答案：当，时，最大值；
当，时，的最大值是；
解：由，且得
，当且仅当，即，时，
等号成立。故当，时，的最大值是
]
若，下列不等式恒成立的是　（　[endnoteRef:30] 　）
A．　　　B．　　C．　 D． [30: 答案：A；]
（多选）若，，则下列关系式中一定成立的是（[endnoteRef:31] ）
A． B． C． D． [31: 答案：AC；
【解析】因为，由指数函数的性质，可得，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，根据对数函数的性质，可得，
所以C正确；
对于D中，当时，可得，所以D不正确，
故选AC．
]
下列不等式一定成立的是(　[endnoteRef:32]　)
A．lg＞lgx(x＞0)； B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)； D.＞1(x∈R)； [32: 答案：C；
　[解析] 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件．对于A选项，当x＝时，lg＝lgx；所以A不一定正确；B命题，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C命题显然正确；D命题不正确，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，所以正确的是C.
]
下列函数中，最小值为2的是 （[endnoteRef:33] ）
A． B．
C． D． [33: 答案：C；]
《不等式》专题8-6 基本不等式涉指数、对数、三角等
已知点P(x，y)在经过A(3，0)，B(1，1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　[endnoteRef:34]　)
A．2 B．4 C．16 D．不存在 [34: 答案：B；
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．
]
若实数a，b满足a＋b＝2， 则的最小值是[endnoteRef:35] 。 [35: 答案：6；
提示：∵≥， 此时a＝b＝1。]
若x＋y＝4，x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是[endnoteRef:36] 。 [36: 答案：lg4；
提示：lgx＋lgy＝lgxy≤lg()2＝lg4.]
若，则的最小值为（ [endnoteRef:37] ）
A． B． C．7 D．12 [37: 答案：A；
【解析】由题意得，，所以，，因为，所以，根据对数函数的单调性知，，，显然，所以，所以，则
，当且仅当时取等号．
]
（多选）已知，且，则（[endnoteRef:38] ）
A. B. C. D. [38: 答案：BCD；
【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理能力.
对于，令，则，故不正确；
对于，故正确；
对于，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于，由，所以，则，故正确.
故选BCD.]
已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是[endnoteRef:39]_______．
[39: 答案：；
【解析】 由，得，所以
，则．令，则（当且仅当时等号成立），所以，令，则在上单调递增，所以，即．
]
下列各函数中，最小值为2的是 (　[endnoteRef:40]　)．
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋，x∈ C．y＝ D．y＝＋ [40: 答案：D；
解析　对于A：不能保证x>0，对于B：不能保证sin x＝，
对于C：不能保证＝，对于D：y＝＋≥2.]

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