资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的一般方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是一个圆.( )
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )
(3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.( )
(4)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.( )
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3) B.(－2，3)
C.(－2，－3) D.(2，－3)
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b) D.点(－a，－b)
4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.
1.圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
类型一　圆的一般方程的
类型一　圆的一般方程的概念
【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
【巩固训练1】 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
类型二　求圆的一般方程
【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
【巩固训练2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.
类型三　求动点的轨迹方程
【例3】 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
【巩固训练3】 已知直角△ABC的两个顶点A(－1，0)和B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
[课堂小结]
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
1.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≤ B.k＝
C.k≥ D.k<
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)
A.D＝E B.D＝F
C.E＝F D.D＝E＝F
3.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
4.求过三点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程.
【基础巩固】
1.已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是(　　)
A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3
C.(－2，－1)，3 D.(2，－1)，9
2.若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A.－2或2 B.或
C.2或0 D.－2或0
3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x＋4y＝0 B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0
4.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________.
5.点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________.
6.设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.
7.已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程.
【能力提升】
8.圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
9.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
10.光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________.
11.动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
【创新应用】
12.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的一般方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是一个圆.(×)
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)
(3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)
(4)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.(√)
提示　(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何几何图形，当D2＋E2－4F＞0时，表示以点为圆心，半径为的圆.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3) B.(－2，3)
C.(－2，－3) D.(2，－3)
解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).
答案　D
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b) D.点(－a，－b)
解析　原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b).
答案　D
4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.
解析　因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.
答案　
1.圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
类型一　圆的一般方程的概念
【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项.
∴它不能表示圆.
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆.
规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
【巩固训练1】 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
即k<.
答案　
类型二　求圆的一般方程
【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
解　法一　设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∵A，B，C在圆上，∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二　设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴
解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.
∴圆心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
规律方法　应用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
【巩固训练2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.
解　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
类型三　求动点的轨迹方程(互动探究)
【例3】 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
[思路探究]
探究点一　直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？
提示　求轨迹方程的一般步骤：
①建系：建立适当的平面直角坐标系；
②设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
③列式：列出关于x，y的方程；
④化简：把方程化简为最简形式；
⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤⑤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.
探究点二　动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？
提示　(1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.
(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
解　设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.
因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3，5).
又因为点B、C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1).
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，
为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点.
规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用的方法.
①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.
②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.
【巩固训练3】 已知直角△ABC的两个顶点A(－1，0)和B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝.
且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
法二　△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
[课堂小结]
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
1.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≤ B.k＝
C.k≥ D.k<
解析　方程表示圆 1＋1－4k>0 k<.
答案　D
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)
A.D＝E B.D＝F
C.E＝F D.D＝E＝F
解析　方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.
答案　A
3.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析　圆心(1，2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.
答案　3
4.求过三点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程.
解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为点A，B，C在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组
解这个方程组，得
于是得到所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
【基础巩固】
1.已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是(　　)
A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3
C.(－2，－1)，3 D.(2，－1)，9
解析　圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.
答案　A
2.若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A.－2或2 B.或
C.2或0 D.－2或0
解析　由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
答案　C
3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x＋4y＝0 B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0
解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1，2).
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案　C
4.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________.
解析　由表示圆的条件知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.
答案　－2＜a＜
5.点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________.
解析　设M(x，y)，则即
又P(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.
答案　x2＋y2＝4
6.设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.
解　(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2，0)，半径为r＝3.
(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CP⊥AB，
∴kCP·k＝－1.又kCP＝＝1，∴k＝－1.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0.
7.已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程.
解　在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是＝.
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
＝.
两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0.
将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
∴所求曲线是圆心C(－1，0)，半径为2的圆(如图).
【能力提升】
8.圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，ab的取值范围是，故选A.
答案　A
9.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
解析　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离
d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.
∴Smin＝×2×＝3－.
答案　A
10.光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________.
解析　∵A(1，1)关于y轴对称点为A′(－1，1)，
∴所求的最短路程为|A′C|－2，|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
答案　6－2
11.动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
解　(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M适合的条件可表示为
＝
平方后再整理，得x2＋y2＝16.
可以验证，这就是动点M的轨迹方程.
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1).
由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝.
所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，
所以M的坐标(x1，y1)满足x＋y＝16.②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以M的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.
【创新应用】
12.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.
解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，
由二次函数的图象解得－＜t＜1.
(2)由(1)知r＝＝，
∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是＋＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9＜0时，
点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜，
即t的取值范围是.

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