资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的标准方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径.( )
(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.( )
(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上和点在圆外.( )
(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1，2)，半径为m.( )
2.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
3.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有(　　)
A.d＞2 B.d＜2 C.d＞4 D.d＜4
4.给出以下五个点的坐标：①(1，1)，②(2，1)，③(0，0)，④(，)，⑤(2，0).以上各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是________.(写出所有可能的序号)
1.圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.
(2)圆的标准方程
2.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在圆C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外 (m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在圆C内 (m－a)2＋(n－b)2类型一　直线的点斜式方程
类型一　点与圆的位置关系
【例1】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
【巩固训练1】 点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
类型二　求圆的标准方程
【例2】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
【巩固训练2】 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
类型三　圆的方程的综合应用
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
【巩固训练3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A.(－2，3)，1 B.(2，－3)，3
C.(－2，3)， D.(2，－3)，
2.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1
C.a＜－1或a＞1 D.a＝±1
3.已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.
4.求满足下列条件的圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)圆心坐标为(3，4)，半径是；
(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，－3).
【基础巩固】
1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
3.若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是(　　)
A.－＜a＜ B.－1＜a＜1
C.－≤a≤ D.－1≤a≤1
4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________.
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________.
6.已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆C的位置关系.
7.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.
【能力提升】
8.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
10.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________.
11.求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程.
【创新应用】
12.已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值.教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的标准方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径.(√)
(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.(√)
(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上和点在圆外.(√)
(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1，2)，半径为m.(×)
提示　(4)圆的半径为.
2.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
答案　B
3.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有(　　)
A.d＞2 B.d＜2 C.d＞4 D.d＜4
解析　点P(x0，y0)在圆C内部可知，(x0－1)2＋(y0＋2)2＜4，所以d＜4.
答案　D
4.给出以下五个点的坐标：①(1，1)，②(2，1)，③(0，0)，④(，)，⑤(2，0).以上各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是________.(写出所有可能的序号)
解析　分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程.
答案　③⑤
1.圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.
(2)圆的标准方程
2.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在圆C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外 (m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在圆C内 (m－a)2＋(n－b)2类型一　直线的点斜式方程
类型一　点与圆的位置关系
【例1】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
规律方法　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上，
③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外.
【巩固训练1】 点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
解析　把点P(m2，5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外.
答案　A
类型二　求圆的标准方程(互动探究)
【例2】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
[思路探究]
探究点一　如何确定该圆圆心？
提示　由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x＋y－2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标.
探究点二　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？
提示　(1)根据题意，设出标准方程；
(2)根据条件，列关于a，b，r的方程组；
(3)解出a，b，r，代入标准方程.
解　法一　设点C为圆心，
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a，2－a).
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得即圆心为(1，1)，圆的半径为
＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
规律方法　直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
【巩固训练2】 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析　∵点A(－3，－1)和B(5，5)的中点坐标为(1，2)，
∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，
半径r＝＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案　D
类型三　圆的方程的综合应用
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
解　(1)由已知，得C(3，0)r＝＝2
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4
(2)圆心C到直线x－y＋1的距离
d＝＝2＞2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
规律方法　解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.
【巩固训练3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
解　设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A.(－2，3)，1 B.(2，－3)，3
C.(－2，3)， D.(2，－3)，
解析　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案　D
2.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1
C.a＜－1或a＞1 D.a＝±1
解析　∵(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴2a2＋2＜4，∴a2＜1，
∴－1＜a＜1.
答案　A
3.已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.
解析　C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.
答案　5
4.求满足下列条件的圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)圆心坐标为(3，4)，半径是；
(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，－3).
解　(1)x2＋y2＝9.
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(3)∵圆的半径r＝＝5，
圆心在点(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
【基础巩固】
1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
解析　由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
答案　D
2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
答案　D
3.若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是(　　)
A.－＜a＜ B.－1＜a＜1
C.－≤a≤ D.－1≤a≤1
解析　由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.
∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
答案　D
4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________.
解析　设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，
把(1，2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案　x2＋(y－2)2＝1
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________.
解析　由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案　x2＋(y－1)2＝1
6.已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆C的位置关系.
解　圆心C(5，6)，半径r＝.
|CM|＝＝，
|CN|＝＝＞，
|CQ|＝＝3＜.
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
7.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.
解　(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
【能力提升】
8.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解.
答案　D
9.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析　如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案　B
10.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________.
解析　y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：
A(－1，－3)，B(3，0)，C(－3，0)，则kAB＝，kAC＝－，∴t≤－或t≥.
答案　t≤－或t≥
11.求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程.
解　圆＋(y＋1)2＝的圆心为M.
设所求圆的圆心为(m，n)，它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∴
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋＝.
【创新应用】
12.已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值.
解　设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2
＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.

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