资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的交点坐标与距离公式
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1．经过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0　　　B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)．
A．5 B．4 C．2 D．2
1. 解析：选C.由，得，代入过原点的直线y＝kx，得k＝－，∴3x＋19y＝0.
2. 解析　设A(x,0)，B(0，y)，
∵AB中点P(2，－1)，
∴＝2，＝－1，
∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝＝2.
答案　C
一·两条直线的交点坐标
设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0
两条直线的交点坐标就是方程组的解
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；
若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。反之亦成立
二·两点之间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝
三·点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d=
（使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式）
四·两条平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d=
使用两平行线间的距离公式时
1）首先直线的方程化成一般形式
2）还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值.
类型一　直线的点斜式方程
【例1】公式的应用
1. 已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为( D )
A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)}
2. 已知直线y=kx+2k+1与直线y=–x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( C )
A.–63．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( C )
A.　　　　B．2－ C. －1 D. ＋1
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是( A )
A．(1，－3)　　　　B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3)
5．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为( B )
6. 点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是( C )
A．2 B. C. D.
7．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线为( C )
A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0
C. 3x+2y－7=0和4x+y－6=0 D. 2x+3y－7=0, x+4y－6=0
8．过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( B )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
9．经过点A(1, 0)和B(0, 5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有( B )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（ B ）
A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
【例2】两直线位置关系的判定
11、已知直线l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8
问：m为何值时 1）l1‖l2 2）l1与l2重合 3）l1与l2垂直
【例3】两直线的交点问题
12、求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
（5x＋3y－1＝0）
【例4】距离问题
13、已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（x＝2或3x－4y－10＝0.| 2x－y－5＝0 根号五）
【例5】对称问题
14、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

|9x－46y＋102＝0.
【知识拓展】
基本问题
一.两直线的交点问题：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
二．距离问题
三．对称问题
1．中心对称
(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两 点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，
x1≠x2)
(2)直线关于直线的对称
此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线,或者在已知直线上任取一点，找它关于对称轴的对称点，用点斜式求方程．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)．
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)
2．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　)
A．－2　 B．－
C．2 D.
3．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的是(　　)．
A.y＝－x＋5　　　　 B.3x＋2y＝0
C.＋＝1　　　　　 D.＋＝1
4．以A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)为顶点的三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A．3　　　 B. C．3 D.
6．已知直线l1：2x－y＋3＝0与直线l2：4x－2y＋m＝0的距离为2，则m的值是______．
7．直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
8．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
1. 解析　由方程组得故选C.
答案　C
2. 解析：选B.由，得，代入x＋ky＝0得
－1－2k＝0，∴k＝－.
3. 解析：直线l的斜率k＝－，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠－.又①、②、④中直线的斜率都等于－，③中直线的斜率等于－，故填C.
答案：C
4. 解析：选B.∵|AB|＝＝，|BC|＝＝，|CA|＝＝，∴|BC|2＝|AB|2＋|CA|2.∴△ABC为直角三角形．
5. 解析：选D.点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离
d＝＝.
6. 解析：∵l2：2x－y＋＝0，
∴d＝＝2，
∴|3－|＝2，
∴m＝6±4.
答案：6±4
7. 解析　三角形的三个顶点坐标分别为A(－2,6)、B(0,12)、C(0，3)，
S△ABC＝×9×2＝9.
答案　9
8. 解：法一：设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
，
解得，
所以P点坐标为(0,1)．
法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①
又3x－y＋1＝0，②
解由①、②组成的方程组，得，
所以所求的点为P(0,1)．
3．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)．
A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3
4．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)．
A．4 B. C. D.
5．若直线x－y＋1＝0与x＋y＋c＝0的交点在第二象限，则c的取值范围是_______________．
6．直线l的方程为4x＋3y－15＝0，点P在l上运动，O为坐标原点，|PO|的最小值为________．
7．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
8．求经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为____________________________________．
9．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是_________________．
10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2), 求△ABC的面积S.
【能力提升】
1．如果(2，a)和(3，b)是直线y＝x＋k上的两点，那么这两点间的距离是(　　)
A．2 B.
C．2 D．与k值有关
2．点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是(　　)
A．(5,2) B．(2，－5)
C．(－5，－2) D．(－2，－5)
3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
4．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________．
5．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．
3. 解析　由点到直线距离公式：＝，
∴a＝－1或5，故选C.
答案　C
4. 解析　∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
∴3∶2＝6∶m，∴m＝4.
直线6x＋4y＋1＝0可以化为3x＋2y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式可得：
d＝＝＝.
答案　D
5.解析：由得
∵交点在第二象限，∴∴－1＜c＜1.
答案：(－1,1)
6. 解：|PO|的最小值就是O到l的距离d.
∴|PO|min＝＝3.
7. 解析　法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有＝，
即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
法二　由题意l必介于l1与l2中间，∴设l的方程为2x－y＋c＝0，
则c＝＝1.
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案　2x－y＋1＝0
8. 解　(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于 3，满足题意．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝－.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
9. 解析：d＝＝≤3，
|3a－15|≤15.
∴－15≤3a－15≤15,0≤3a≤30.
∴0≤a≤10.
答案：[0,10]
10.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为：
＝，即x－2y＋3＝0，
由两点间的距离公式得
|BC|＝＝2.
设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
∴S＝|BC|·d
＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
【能力提升】
1. 解析：选B.由题意a＝2＋k，b＝3＋k，
所以(2，a)，(3，b) 两点之间的距离为
＝＝.
2. 解析：选C.设点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点为P1，则PP1的中点应在x＋y＝0上，可排除A，B.而(－2，－5)与P(2,5)显然关于原点对称，但不关于直线x＋y＝0对称．故选C.
3. 解析：选B.设P(x，y)为所求直线上的任意一点，P关于x轴的对称点为P′(x，－y)，
则P′在直线3x－4y＋5＝0上，
∴3x＋4y＋5＝0即为所求．
4．
解析：方程整理为k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0(k∈R)．
由题意知
解得即直线过定点(2,3)．
答案：(2,3)
5. 解析　由距离公式得＝＝，∴最小值为 ＝.
答案　教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的交点坐标与距离公式
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1．经过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程为(　　)
A．19x－9y＝0　　　B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)．
A．5 B．4 C．2 D．2
一·两条直线的交点坐标
设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0
两条直线的交点坐标就是方程组的解
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；
若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。反之亦成立
二·两点之间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝
三·点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d=
（使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式）
四·两条平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d=
使用两平行线间的距离公式时
1）首先直线的方程化成一般形式
2）还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值.
类型一　直线的点斜式方程
【例1】公式的应用
1. 已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为( )
A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)}
2. 已知直线y=kx+2k+1与直线y=–x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A.–63．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.　　　　B．2－ C. －1 D. ＋1
4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是( )
A．(1，－3)　　　　B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3)
5．两直线x－y－2＝0与2x－2y＋3＝0的距离为( )
6. 点P在直线x+y–4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是( )
A．2 B. C. D.
7．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线为( )
A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0
C. 3x+2y－7=0和4x+y－6=0 D. 2x+3y－7=0, x+4y－6=0
8．过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
9．经过点A(1, 0)和B(0, 5)分别作两条平行线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P在x轴上，使|AP|–|BP|取得最大值时P的坐标（ ）
A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
【例2】两直线位置关系的判定
11、已知直线l1 ：（m+3）x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8
问：m为何值时 1）l1‖l2 2）l1与l2重合 3）l1与l2垂直
【例3】两直线的交点问题
12、求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【例4】距离问题
13、已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【例5】对称问题
14、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

【知识拓展】
基本问题
一.两直线的交点问题：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
二．距离问题
三．对称问题
1．中心对称
(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两 点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
2．轴对称
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，
x1≠x2)
(2)直线关于直线的对称
此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线,或者在已知直线上任取一点，找它关于对称轴的对称点，用点斜式求方程．
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　)．
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)
2．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　)
A．－2　 B．－
C．2 D.
3．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的是(　　)．
A.y＝－x＋5　　　　 B.3x＋2y＝0
C.＋＝1　　　　　 D.＋＝1
4．以A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)为顶点的三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A．3　　　 B. C．3 D.
6．已知直线l1：2x－y＋3＝0与直线l2：4x－2y＋m＝0的距离为2，则m的值是______．
7．直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
8．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
3．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)．
A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3
4．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)．
A．4 B. C. D.
5．若直线x－y＋1＝0与x＋y＋c＝0的交点在第二象限，则c的取值范围是_______________．
6．直线l的方程为4x＋3y－15＝0，点P在l上运动，O为坐标原点，|PO|的最小值为________．
7．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
8．求经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为____________________________________．
9．若点(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围是_________________．
10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2), 求△ABC的面积S.
【能力提升】
1．如果(2，a)和(3，b)是直线y＝x＋k上的两点，那么这两点间的距离是(　　)
A．2 B.
C．2 D．与k值有关
2．点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是(　　)
A．(5,2) B．(2，－5)
C．(－5，－2) D．(－2，－5)
3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
4．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是________．
5．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．

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