资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
判断题：
(1)经过点P(x0，y0)的直线，都可以用y－y0＝k(x－x0)来表示.(×)
(2)经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)
(3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示不与x轴垂直的直线.(√)
(4)直线l在y轴上的截距b一定是正数.(×)
(5)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)来表示.(√)
(6)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.(×)
(7)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.(√)
(8)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.(×)
提示　(1)经过点P(x0，y0)垂直于x轴的直线方程为x＝x0.
(2)当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，其方程可表示为x＝0.
(4)直线l在y轴上的截距b实际上是直线l与y轴交点的纵坐标，因此b可以是正数，也可以是负数，还可以是0.
(6)若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用＋＝1表示.
(8)方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，若A＝0，B≠0，或A≠0，B＝0时，方程也表示直线.
1. 直线的点斜式方程--已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式.
直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.
2．直线的斜截式方程－已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式.
⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
⑶斜截式中，，的几何意义
应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：
⑴A（2,1），B(6,-3)；⑵A(0,5) B(5,0)；⑶A(-4,-5) B(0,0).
3. 直线方程的两点式
已知直线上两点，B（ ，求直线方程.
首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：
由可以导出，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式
所以，当，时，经过　B（的直线的两点式方程可以写成：
探究1：哪些直线不能用两点式表示？
答：倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示
探究2：若要包含倾斜角为或的直线，应把两点式变成什么形式？
答：应变为的形式
探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？
答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等
4．直线方程的截距式
定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距.
易得过A(,0) B(0, )　（,均不为0）的直线方程为，将其变形为：
以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与轴和轴的交点的坐标
5.直线方程的一般式
定义：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.
6.中点的坐标表示
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.
【概念辨析】
类型一　直线的点斜式方程(互动探究)
【例1】 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.
[思路探究]
探究点一　直线的点斜式方程的适用条件是什么？
提示　点P(x0，y0)和斜率k.
探究点二　求直线的点斜式方程的方法步骤是什么？
提示　在直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式.
解　(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2，3).∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).
规律方法　(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).
(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.
【巩固训练】 (1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.
(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________.
解析　(1)k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，
由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋4y－6＝0.
答案　(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0
类型二　直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
规律方法　1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”.
2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.
【巩固训练】 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
解　(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.
(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.
(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.
类型三　直线的两点式方程
【例3】 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2).
∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
规律方法　(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.
【巩固训练】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.
解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A、B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
类型四　直线的截距式方程
【例4】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
解　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
规律方法　(1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.
(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.
【巩固训练】 求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
解　设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝，
∴l∶3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
类型五　直线的一般式与其他形式的转化(互动探究)
【例5】 已知直线l经过点A(－5，6)和点B(－4，8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.
[思路探究]
探究点一　两点式方程的适用条件是什么？两点的坐标满足什么条件？
提示　两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，两点的坐标应满足x1≠x2且y1≠y2.
探究点二　直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式的条件是什么？
提示　当A，B，C≠0时，直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式.
解　因为直线l经过点A(－5，6)，B(－4，8)，所以由两点式，得＝，
整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得＋＝1，
所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.
图形如图所示：
规律方法　(1)一般式化为斜截式的步骤：
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤：
方法一：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
方法二：
①令x＝0求直线在y轴上的截距b；
②令y＝0求直线在x轴上的截距a；
③代入截距式方程＋＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.
【巩固训练】 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A. B.－5 C. D.－3
解析　(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.
(2)令y＝0则x＝－3.
答案　(1)B　(2)D
类型六　直线过定点问题
【例6】 求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明　法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
规律方法　本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.
【巩固训练】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.
证明　法一　由已知，得直线l的点斜式方程为y－＝a.
故直线l的斜率为a，且过定点，而该点在第一象限，因而结论成立.
法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
∴必有即
即直线l过定点，而该点在第一象限，
∴结论成立.
类型七　由含参一般式方程求参数的值或取值范围
【例7】 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.
(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.
(1)解析　若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组得m＝－3.
所以m≠－3时，方程表示一条直线.
答案　m≠－3
(2)解　①因为已知直线的倾斜角为45°，
所以此直线的斜率是1，所以－＝1，
所以
解得所以m＝－1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1，
令y＝0得x＝，所以＝1，
所以解得
所以m＝－或m＝2.
规律方法　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
【巩固训练】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.
(1)证明　直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
故k的取值范围为{k|k≥0}.
类型八　利用直线系方程求直线方程
【例8】 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′方程，
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直.
解　法一　由题设l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二　(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
规律方法　一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.
【巩固训练】 已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解　(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2，2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2，2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
类型九　直线的平行与垂直问题
【例9】 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.
(1)平行；(2)垂直.
解　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；
当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；
直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－.
(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，
得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.
(2)当两直线垂直时，(a－1)×1＋(－2)×(－a)＝0，解得a＝.
规律方法　1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.
【巩固训练】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为(　　)
A.－1 B.1 C.±1 D.－
(1)解　法一　∵l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，∴当m＝0时，显然l1不平行于l2.
当m≠0时，若l1∥l2，则有＝≠，即m2＋m－6＝0.
解得m＝2或m＝－3.显然m＝2或m＝－3符合条件.
法二　若l1∥l2，则2×3－m(m＋1)＝0，
解得m＝2或m＝－3.当m＝2或m＝－3时，
(m＋1)×(－2)－3×4＝－2m－14≠0，
∴m＝2或m＝－3为所求.
(2)解析　∵两直线垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
答案　C
【知识拓展】
1.直线方程五种形式的比较
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
①点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
②斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
③两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
④截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
⑤一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B为系数 任何情况
特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0
2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；
(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；
(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性.
1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)
A.60°，2 B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
解析　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
答案　B
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
解析　∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
答案　B
3.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为
＋＝1.
答案　C
4.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
解析　由ax＋by＝c，得y＝－x＋，∵ab＜0，∴直线的斜率k＝－＞0，
∵bc＜0，∴直线在y轴上的截距＜0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
答案　C
5.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
答案　B
6.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　　)
A.－2 B.2 C.－3 D.3
解析　由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去).
答案　D
7.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(　　)
A.－3 B.3 C. D.－
解析　由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
答案　D
8.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A.－6 B.6 C.－ D.
解析　直线2x＋3y＋5＝0的斜率为k＝－，则a≠0，直线(a－2)x＋ay－1＝0的斜率为k1＝－，∴－＝－，解得a＝6.
答案　B
9.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________.
解析　直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.
答案　x＝3
10.直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________.
解析　线段AB的中点坐标是(1，1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2.
答案　2
11.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.
解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，
解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－)∪(0，＋∞).
答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)
12.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
解　①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
13.直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程和斜截式方程.
解　∵直线y＝x＋的斜率k＝，∴其倾斜角为60°，
∴直线l的倾斜角为60°×2＝120°，
∴直线l的斜率k′＝tan 120°＝－，
又∵直线l过点P(3，4)，
∴直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，
化为斜截式方程为y＝－x＋4＋3
点斜式、斜截式
【基础巩固】
1.直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A.任何一条直线 B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线 D.不与x轴垂直的直线
解析　点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线.
答案　D
2.经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A.x＝－1 B.y＝1
C.y－1＝(x＋1) D.y－1＝2(x＋1)
解析　由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，
∴选C.
答案　C
3.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
答案　D
4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为6，则直线l的斜截式方程为________.
解析　因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为，由斜截式方程，
得y＝x＋6.
答案　y＝x＋6
5.过点(1，2)且与直线y＝－2x垂直的点斜式方程是________.
解析　设所求直线的斜率为k，则－2·k＝－1，∴k＝.
∴直线的点斜式方程为y－2＝(x－1).
答案　y－2＝(x－1)
6.根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式.
解　(1)易知所求直线的斜率k＝－1，在y轴上的截距b＝－2，
由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2.
(2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，
根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，
化为斜截式为y＝－x＋4.
7.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边上的高所在的直线方程.
解　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，即y＝x＋3.
【能力提升】
8.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
解析　直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1，0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案　A
9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的(　　)
解析　直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.
当a＞0时，斜率a＞0，在y轴上的截距＞0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a＜0时，斜率a＜0，在y轴上的截距＜0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B.
答案　B
10.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.
解析　令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的范围是k≥1或k≤－1.
答案　k≥1或k≤－1
11.已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°.
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
解　如图，
(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行.
∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0.
(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，
AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0.
又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1.
∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.
【创新应用】
12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足
即解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.
两点式、截距式、一般式
【基础巩固】
1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)
A.可以写成两点式或截距式
B.可以写成两点式或斜截式或点斜式
C.可以写成点斜式或截距式
D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
解析　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B.
答案　B
2.直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　)
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a＜0，b＞0.
答案　C
3.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
答案　C
4.已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________.
解析　AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
答案　12
5.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________.
解析　把(3，0)代入已知方程得：(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6.
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.
答案　－
6.求过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.
解　设过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、N.
再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×，可得＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.解得k＝或k＝或k＝，故满足条件的直线有3条.
7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
【能力提升】
8.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
解析　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
答案　A
9.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)
解析　将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得选C.
答案　C
10.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________.
解析　由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.
答案　2x＋3y＋4＝0
11.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
解　(1)∵直线过点P′(1，0)，
∴m2－2m－3＝2m－6.解得m＝3或m＝1.
当m＝3时不合题意，故m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
【创新应用】
12.已知直线l：y＝－x＋1，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴解得
即P′点的坐标为.
(2)法一　由
得l与l1的交点A(2，0)，
在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，则
即∴
即B′，∴l2的斜率为kAB′＝＝7.
∴l2的方程为y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
法二　直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立.
由得
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
直线方程的综合应用
【基础巩固】
1.已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是(　　)
A.1 B. C.－2 D.2
解析　由题意得解得m＝－2.
答案　C
2.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A.，1 B.，－1
C.－，1 D.－，－1
解析　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－，故选D.
答案　D
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
解析　设所求直线方程为x－2y＋C＝0，又经过(1，0)，
∴1－0＋C＝0，故C＝－1，∴所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案　A
4.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________.
解析　由于l1∥l2，所以1×(－a)－(－2)×2＝0且－2×(－a)－(－a)×(－1)≠0，得a＝4.
答案　4
5.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
解析　由已知，得1×2－2m＝0，解得m＝1.
答案　1
6.已知直线l1：(k－3)·x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值.
解　(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检测，均符合题意.
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
7.已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程.
解　(1)设顶点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式解得
∴C点的坐标为(1，－3).
(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，由直线的截距式方程得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－，即2x－10y－5＝0.
【能力提升】
8.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
解析　化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合.
答案　A
9.两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　　)
A.m＝1 B.m＝±1
C. D.或
解析　令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，
要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
答案　D
10.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.
解析　设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，∴6＝××＝，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
答案　3或－3
11.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解　设所求直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0).
若满意条件(1)，由题意可知，a＋b＋＝12①.
∵直线过点P，∴＋＝1②.
由①②可得5a2－32a＋45＝0，解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即满足条件(1)的直线方程为：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，由题意知ab＝12，＋＝1.
整理，得a2－6a＋8＝0，解得或∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即满足条件(2)的直线方程为：3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
故同时满足(1)(2)的直线方程为：3x＋4y－12＝0.
【创新应用】
12.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
解　以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0，60)，B(90，0)，
∴AB所在直线的方程为＋＝1，
即y＝60(1－).∴y＝60－x.
从而可设P(x，60－x)，其中0∴所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y).
故S＝(300－x)(240－60＋x)
＝－x2＋20x＋54 000(0∴当x＝－＝15
且y＝60－×15＝50时，
S取最大值为－×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2).
因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2.教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的方程
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
判断题：
(1)经过点P(x0，y0)的直线，都可以用y－y0＝k(x－x0)来表示.( )
(2)经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.( )
(3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示不与x轴垂直的直线.( )
(4)直线l在y轴上的截距b一定是正数.( )
(5)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)来表示.( )
(6)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.( )
(7)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.( )
(8)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.( )
1. 直线的点斜式方程--已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式.
直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.
2．直线的斜截式方程－已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式.
⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
⑶斜截式中，，的几何意义
应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：
⑴A（2,1），B(6,-3)；⑵A(0,5) B(5,0)；⑶A(-4,-5) B(0,0).
3. 直线方程的两点式
已知直线上两点，B（ ，求直线方程.
首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：
由可以导出，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式
所以，当，时，经过　B（的直线的两点式方程可以写成：
探究1：哪些直线不能用两点式表示？
答：倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示
探究2：若要包含倾斜角为或的直线，应把两点式变成什么形式？
答：应变为的形式
探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？
答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等
4．直线方程的截距式
定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距.
易得过A(,0) B(0, )　（,均不为0）的直线方程为，将其变形为：
以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与轴和轴的交点的坐标
5.直线方程的一般式
定义：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.
6.中点的坐标表示
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.
类型一　直线的点斜式方程
【例1】 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.
【巩固训练】 (1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.
(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________.
类型二　直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【巩固训练】 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
类型三　直线的两点式方程
【例3】 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【巩固训练】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.
类型四　直线的截距式方程
【例4】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
【巩固训练】 求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
类型五　直线的一般式与其他形式的转化
【例5】 已知直线l经过点A(－5，6)和点B(－4，8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.
【巩固训练】 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A. B.－5 C. D.－3
类型六　直线过定点问题
【例6】 求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
【巩固训练】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.
类型七　由含参一般式方程求参数的值或取值范围
【例7】 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.
(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.
【巩固训练】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.
类型八　利用直线系方程求直线方程
【例8】 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′方程，
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直.
【巩固训练】 已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
类型九　直线的平行与垂直问题
【例9】 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.
(1)平行；(2)垂直.
【巩固训练】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为(　　)
A.－1 B.1 C.±1 D.－
【知识拓展】
1.直线方程五种形式的比较
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
①点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
②斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
③两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
④截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
⑤一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B为系数 任何情况
特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0
2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；
(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；
(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性.
1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)
A.60°，2 B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
3.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
5.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
6.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　　)
A.－2 B.2 C.－3 D.3
7.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(　　)
A.－3 B.3 C. D.－
8.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A.－6 B.6 C.－ D.
9.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________.
10.直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________.
11.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.
12.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
13.直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程和斜截式方程.
点斜式、斜截式
【基础巩固】
1.直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A.任何一条直线 B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线 D.不与x轴垂直的直线
2.经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A.x＝－1 B.y＝1
C.y－1＝(x＋1) D.y－1＝2(x＋1)
3.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为6，则直线l的斜截式方程为________.
5.过点(1，2)且与直线y＝－2x垂直的点斜式方程是________.
6.根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式.
7.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边上的高所在的直线方程.
【能力提升】
8.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的(　　)
10.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.
11.已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°.
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
【创新应用】
12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3两点式、截距式、一般式
【基础巩固】
1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)
A.可以写成两点式或截距式
B.可以写成两点式或斜截式或点斜式
C.可以写成点斜式或截距式
D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
2.直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　)
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
3.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
4.已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________.
5.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________.
6.求过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.
7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
【能力提升】
8.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
9.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)
10.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________.
11.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
【创新应用】
12.已知直线l：y＝－x＋1，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
直线方程的综合应用
【基础巩固】
1.已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是(　　)
A.1 B. C.－2 D.2
2.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A.，1 B.，－1
C.－，1 D.－，－1
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
4.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________.
5.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
6.已知直线l1：(k－3)·x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值.
7.已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程.
【能力提升】
8.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
9.两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　　)
A.m＝1 B.m＝±1
C. D.或
10.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.
11.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【创新应用】
12.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)

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