资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的方程习题课
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.点A(2a，a－1)在以点C(0，1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为(　　)
A.±1 B.0或1
C.－1或 D.－或1
解析　由题意，得圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－.
答案　D
2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解析　由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交.
答案　B
一、知识网络：
二、知识点：
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
4.圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
类型一　圆的一般方程的
方法一　函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程.
解　设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，或＋(y＋1)2＝1.
【巩固训练1】 已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程.
解　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
其圆心为.
∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①
又圆心在直线2x＋y＝0上，
∴2·＋＝0，即2D＋E＝0.②
将y＝x－1代入圆方程得
2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.
Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③
将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，
即D2＋20D＋36＝0，
∴D＝－2或D＝－18.
代入①②，得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.
法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a).
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
方法二　数形结合思想
数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
【例2】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值.
解　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率.令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
【巩固训练2】 当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　曲线y＝1＋是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线.
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.直线PA的斜率为k1＝.
所以，实数k的取值范围是答案　C
方法三　分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.
【例3】 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋
(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
解　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.
①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知＋＝52，
解得k＝－，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.
综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
【巩固训练3】 如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程.
解　(1)设圆A的半径为r.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，则由|AQ|＝＝1，得k＝.
直线方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
方法一　函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.
方法二　数形结合思想
数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
方法三　分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.
1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D．2
解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
答案　C
2.直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A.－2或12 B.2或－12
C.－2或－12 D.2或12
解析　圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.
答案　D
3.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案　D
4.已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B. C. D.
解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①
由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为
y－＝，②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，
其到原点的距离为 ＝.故选B.
答案　B
5.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a
∴圆心坐标(－1，1)
半径r2＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝
∴22＋()2＝2－a，解得a＝－4.
答案　B
6．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案　4π
7．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－3y＋6＝0，则y1＋y2＝3，又y2＝2，∴y1＝，
∴A(－3，)，B(0，2)．过A，B作l的垂线方程分别为y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
答案　4
8.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
解析　点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x2＋y2＝5，设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝＝，解得k＝－，∴直线为－x－y＋＝0，即x＋2y－5＝0.
答案　x＋2y－5＝0
9.已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.
解析　因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，故＝1，∴z＝5或z＝15，
∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.
答案　15
3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A. B.2 C. D.2
解析　直线方程为y＝x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0，2)到直线y＝x的距离为d＝1，∴半弦长为＝，∴弦长为2.
答案　D
4.圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是(　　)
A.(x－2)2＋y2＝1 B.(x＋2)2＋y2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－2)2＝1
解析　设圆心坐标为(a，0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
答案　A
5.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析　C1的圆心为(0，0)，半径r＝1，C2的圆心为(3，4)，半径R＝，
又∵|C1C2|＝5，由题意知5＝1＋，∴m＝9，故选C.
答案　C
6.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个.
答案　B
7.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y－1)2＝1
C.(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝1
解析　法一　因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
法二　已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，
所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案　A
8.过点P(－2，4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)
A.4 B.2 C. D.
解析　P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
答案　A
9.若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是(　　)
A.2x＋y－3＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y－3＝0 D.2x－y－5＝0
解析　设圆心为C，则C点坐标(1，0)且AB⊥CP，kCP＝＝－1，∴kAB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2即x－y－3＝0.
答案　C
二、填空题
10.自x轴上一动点P向圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1引切线，则切线长的最小值为________，此时P点的坐标为________.
解析　设切点为Q，如图，
∵△PQC为直角三角形，且|CQ|＝r＝1，∴要使|PQ|最小，只需|CP|＝最小即可，故过C(3，4)作x轴的垂线，垂足为M.
当点P与点M(3，0)重合时，|CP|最小，为4.
此时|PQ|＝＝＝.
答案　　(3，0)
11.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.
解析　因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m).又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋＝.
答案　(x－2)2＋＝
12.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________.
解析　由x2＋y2＋6x－8y－11＝0得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝＝5，当两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，因此圆心距d应满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|－6|≤5≤＋6，从而1≤≤11，即1≤m≤121.
答案　1≤m≤121
13.过点M(3，2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________.
解析　由圆的方程可知，圆心为(－2，1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋2＝0，由＝1，
解得k＝0或k＝，所以所求直线的方程为y＝2和5x－12y＋9＝0.
答案　y＝2或5x－12y＋9＝0
14.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________.
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
解析　(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)　法一　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0, ＋1).又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，
所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1).令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.
法二　令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.
答案　(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1
三、解答题
15.已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切.
解　(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切.
16.点A(0，2)是圆O：x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线.
解　设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2.
即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，
化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0，1)为圆心，为半径长的圆.
17.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R).
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.
解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交.
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－.此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)．
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又BC＝OA＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P、Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的范围为[2－2，2＋2]．教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆的方程习题课
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.点A(2a，a－1)在以点C(0，1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为(　　)
A.±1 B.0或1
C.－1或 D.－或1
2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
一、知识网络：
二、知识点：
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
4.圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
类型一　圆的一般方程的
方法一　函数与方程思想
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程.
【巩固训练1】 已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程.
方法二　数形结合思想
【例2】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值.
【巩固训练2】 当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
方法三　分类讨论思想
【例3】 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
【巩固训练3】 如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程.
方法一　函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.
方法二　数形结合思想
数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
方法三　分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.
1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D．2
2.直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A.－2或12 B.2或－12
C.－2或－12 D.2或12
3.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
4.已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B. C. D.
5.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
6．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
7．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．
8.若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
9.已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.
3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A. B.2 C. D.2
4.圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是(　　)
A.(x－2)2＋y2＝1 B.(x＋2)2＋y2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－2)2＝1
5.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
6.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y－1)2＝1
C.(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D.(x＋1)2＋(y－2)2＝1
8.过点P(－2，4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　)
A.4 B.2 C. D.
9.若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是(　　)
A.2x＋y－3＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y－3＝0 D.2x－y－5＝0
二、填空题
10.自x轴上一动点P向圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1引切线，则切线长的最小值为________，此时P点的坐标为________.
11.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________.
12.若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________.
13.过点M(3，2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________.
14.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________.
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
三、解答题
15.已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切.
16.点A(0，2)是圆O：x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线.
17.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R).
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．

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