资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线与圆的位置关系
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.(√)
(2)直线和圆相切，有且只有一个公共点.(√)
(3)过圆外一点作圆的切线有两条.(√)
(4)解决有关直线与圆的位置关系问题有两种思路：一是代数法，二是几何法.(√)
2.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝答案　D
3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案　A
4.由点P(1，3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________.
解析　点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，
∴切线长为＝1.
答案　1
直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ dr
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
类型一　圆的一般方程的
类型一　直线与圆的位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解　法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－规律方法　直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
【巩固训练1】 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
解析　将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
答案　A
类型二　圆的切线问题(互动探究)
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.
[思路探究]
探究点一　过定点A作已知圆的切线，有关切线条数有几种情况？
提示　有三种：
①当点A在圆内时，无切线；
②当点A在圆上时，有且只有一条切线；
③当点A在圆外时，有两条切线.
探究点二　求经过一点的圆的切线方程的解题策略是什么？
提示　求经过一点的圆的切线方程，要先判断点和圆的位置关系，若点在圆上，则切线只有一条，若点在圆外，则切线方程有两条，应注意切线斜率不存在的情况.
解　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外.
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4).即kx－y－3－4k＝0，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
规律方法　1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.
2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式.
【巩固训练2】 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.
解　由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
类型三　圆的弦长问题
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
解　法一　由
得交点A(1，3)，B(2，0)，
∴弦AB的长为|AB|＝＝.
法二　由
消去y得x2－3x＋2＝0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝＝，
即弦AB的长为.
法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝，
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长为＝＝＝，
所以弦长|AB|＝.
规律方法　求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2.
即|AB|＝2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|，
其中k为直线l的斜率.
【巩固训练3】 若直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(点C为圆心)的面积等于(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
解析　过圆心C(2，－1)向AB作垂线，垂足为D，
则|CD|＝＝，
所以|AB|＝2＝2×2＝4，
所以S△ABC＝×4×＝2.
答案　A
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.
2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝
|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
1.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为(　　)
A.0或2 B.2 C. D.无解
解析　由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.
答案　B
2.设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则
|AB|＝(　　)
A.1 B. C. D.2
解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.
答案　D
3.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.
解析　设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心(1，2)位于直线kx－y＝0上.于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案　2x－y＝0
4.求过点P(3，2)的圆x2＋y2＝9的切线方程.
解　∵点P(3，2)到圆心(0，0)的距离为＝＞3，∴点P在圆x2＋y2＝9外.
①若所求的切线的斜率存在，设所求切线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.
又圆心为O(0，0)，半径r＝3，而圆心到切线的距离为d＝＝3，即
|3k－2|＝3，所以k＝－，
所以方程为－x－y＋2＋3×＝0，
即5x＋12y－39＝0.
②若切线斜率不存在，则切线方程为x＝3，圆心(0，0)到切线的距离为3，与半径相等，符合题意，∴另一条切线方程是x＝3.
综上所述，所求切线方程为
x＝3或5x＋12y－39＝0.
【基础巩固】
1.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A.－1或 B.1或3
C.－2或6 D.0或4
解析　由弦长为2得圆心(a，0)到直线x－y＝2的距离为d＝＝得a＝0或4.
答案　D
2.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为(　　)
A.2＋ B.2－
C. D.0
解析　圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，∴所求最大距离为2＋.
答案　A
3.已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A.－ B.1 C.2 D.
解析　由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
答案　C
4.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.
解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝.
答案　
5.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为________.
解析　由题意知直线方程为y＝x＋a，即x－y＋a＝0，圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为.
因为直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝2相切，所以＝，解得a＝±2.
答案　±2
6.求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离.
解　圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m<－2或m>2；
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2；
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以－27.圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
解　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
【能力提升】
8.在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意.
答案　C
9.直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析　
设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2时，
|AC|＝＝＝1.∴当|MN|≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.∴－≤k≤0.
答案　A
10.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解析　设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2，当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦.
|CA|＝＝.∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.
答案　2
11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
所以解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
【创新应用】
12.如图，圆C与y轴切于点T(0，2)，与x轴正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN＝0.
(1)解　因为圆C与y轴切于点T(0，2)，可设圆心坐标为C(m，2)，则圆的半径为m，所以m2＝4＋＝，得m＝，所以所求圆的方程为＋(y－2)2＝.
(2)证明　由(1)知N(4，0).设直线AB：x＝1＋ty，代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，b(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝0.教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线与圆的位置关系
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.( )
(2)直线和圆相切，有且只有一个公共点.( )
(3)过圆外一点作圆的切线有两条.( )
(4)解决有关直线与圆的位置关系问题有两种思路：一是代数法，二是几何法.( )
2.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
4.由点P(1，3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________.
直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ dr
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
类型一　圆的一般方程的
类型一　直线与圆的位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
【巩固训练1】 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
类型二　圆的切线问题
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.
【巩固训练2】 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.
类型三　圆的弦长问题
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
【巩固训练3】 若直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(点C为圆心)的面积等于(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.
2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝
|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
1.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为(　　)
A.0或2 B.2 C. D.无解
2.设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则
|AB|＝(　　)
A.1 B. C. D.2
3.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.
4.求过点P(3，2)的圆x2＋y2＝9的切线方程.
【基础巩固】
1.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A.－1或 B.1或3
C.－2或6 D.0或4
2.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为(　　)
A.2＋ B.2－
C. D.0
3.已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A.－ B.1 C.2 D.
4.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.
5.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为________.
6.求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离.
7.圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
【能力提升】
8.在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
10.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
【创新应用】
12.如图，圆C与y轴切于点T(0，2)，与x轴正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN＝0.

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