资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的倾斜角与斜率
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1、直线的一个法向量为，则直线的倾斜角是（ ）
一、正确理解直线的倾斜角、斜率的概念，明确直线的倾斜角与斜率之间的关系，掌握两者的转化方法
1．倾斜角及斜率的概念
（1）直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.
根据以上定义知，平面内任意一条直线都有唯一的的倾斜角与它相对应，反之，倾斜角为某一值的直线有无数条，只有倾斜角不能确定直线。
（2）直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（≠90°）.
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.
（4）求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.
2．直线的倾斜角与斜率的关系
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.
斜率的图象如下图.
（1）已知倾斜角，求斜率。
当时，；当时，。
【例1】填空题：
（1）若直线的倾斜角满足，则直线的斜率的取值范围是 。
（2）若直线的斜率是，而直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则直线的斜率是 。
（3）若直线的倾斜角的正弦是，则直线的斜率是 。
（4）若直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的倾斜角为 。
（5）直线x－y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是____________.
【例2】已知两点A（－1，2）、B（m，3）.
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角的取值范围．
【例3】已知直线过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围。
【例4】已知两个不同的点、，求直线的斜率。
【例5】根据下列条件，求直线的方程：
（1）过定点，且与，的距离相等；
（2）过定点，并且在两坐标轴上截距相等；
（3）过定点，并且与两坐标轴围成等腰直角三角形。
【例6】在△ABC中，已知点A（5，－2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.
（1）求点C的坐标；
（2）求直线MN的方程.
【例7】已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程.
例8. 已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.
【知识拓展】
一、理解直线的方向向量、法向量与倾斜角、斜率之间的关系，掌握转化的基本方法
设直线的方向向量，倾斜角为，斜率是。
1. 直线的方向向量
设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.
2. 已知，则， 。
3 若直线经过点、，当时，；
当时，，。
二．直线方程的另外几种形式
（1）斜截式：y=kx+b.
（2）点斜式：y－y0=k（x－x0）.
（3）两点式：=.
（4）截距式：+=1.
1、已知点和，若直线过原点且与线段有公共点，则的斜率取值范围是（ ）
2、若，则直线的倾斜角是（ ）
3、已知直线的斜率为，若直线绕其上一个定点顺时针旋转，得到直线，则的斜率为（ ）
4. 直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是（ ）
A.k≥－1 B.k≤1
C.－1≤k≤1且k≠0 D.k≤－1或k≥1
5、 设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a、b满足（ ）
A.a+b=1 B.a－b=1 C.a+b=0 D.a－b=0
6、如果三点共线,则的值是 。
7、若直线的倾斜角，其斜率的取值范围是。
8. 已知直线l1：x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），并且l2的方向向量a2与a1满足a1·a2=0，则l2的方程为____________.
9、过一点且法向量是的直线方程是
10、如果直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积是，研究当时，直线分别有几条，并说明理由。
11. 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）.
2、如果直线沿轴负方向平移3个单位，再沿着轴正方向平移1个单位后，与原来的直线重合，那么直线的斜率是（ ）
3、已知直线和直线，且的方向向量恰好为的法向量，则的值是 。
4、过点作直线与轴的正半轴和轴的正半轴分别交于点，是坐标原点。
求使得的最小值的直线的方程。
5. 设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为。若＜＜，试求B的取值范围；教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 直线的倾斜角与斜率
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1、直线的一个法向量为，则直线的倾斜角是（ C ）
一、正确理解直线的倾斜角、斜率的概念，明确直线的倾斜角与斜率之间的关系，掌握两者的转化方法
1．倾斜角及斜率的概念
（1）直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.
根据以上定义知，平面内任意一条直线都有唯一的的倾斜角与它相对应，反之，倾斜角为某一值的直线有无数条，只有倾斜角不能确定直线。
（2）直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（≠90°）.
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.
（4）求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=.
2．直线的倾斜角与斜率的关系
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.
斜率的图象如下图.
（1）已知倾斜角，求斜率。
当时，；当时，。
【例1】填空题：
（1）若直线的倾斜角满足，则直线的斜率的取值范围是 。
（2）若直线的斜率是，而直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则直线的斜率是 。
（3）若直线的倾斜角的正弦是，则直线的斜率是 。
（4）若直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的倾斜角为 。
（5）直线x－y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是____________.
答案：（1）不存在；
（2）； （3）；
（4）。 （5）30°
【例2】已知两点A（－1，2）、B（m，3）.
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角的取值范围．
解：（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角＝．
当m≠－1时，k＝，
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：y－2=（x+1）．
（3）1°当m=－1时，＝；
2°当m≠－1时，
∵k＝∈（－∞，－］∪［，＋∞），
∴∈［，）∪（，］.
故综合1°、2°得，直线AB的倾斜角α∈［，］.
【例3】已知直线过点，且与以、为端点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围。
答案：
【例4】已知两个不同的点、，求直线的斜率。
答案：。
因为，
故。
此时，
从而。
【例5】根据下列条件，求直线的方程：
（1）过定点，且与，的距离相等；
（2）过定点，并且在两坐标轴上截距相等；
（3）过定点，并且与两坐标轴围成等腰直角三角形。
答案：（1）；
（2）；
（3）。
【例6】在△ABC中，已知点A（5，－2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.
（1）求点C的坐标；
（2）求直线MN的方程.
解：（1）设点C（x，y），由题意得=0，=0，得x=－5，y=－3.故所求点C的坐标是（－5，－3）.
（2）点M的坐标是（0，－），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，
即5x－2y－5=0.
【例7】已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程.
解：如下图，因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为+=1，
化为一般式为x－2y+6=0.
由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－.
于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0.
由A（3，－4）、C（－6，0）， 得直线AC的斜率kAC==－.
利用点斜式得直线AC的方程为 y－0=－（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0.
也可用两点式，得直线AC的方程为 =，
【例8】已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.
解法一：设所求直线l的方程为y=kx+b.
∵k＝6，∴方程为y=6x+b.
令x=0，∴y=b，与y轴的交点为（0，b）；
令y=0，∴x=－，与x轴的交点为（－，0）.
根据勾股定理得（－）2＋b2＝37，
∴b＝±6.因此直线l的方程为y=6x±6．
解法二：设所求直线为+=1，则与x轴、y轴的交点分别为（a，0）、（0，b）.
由勾股定理知a2＋b2＝37.
又k=－=6，
a2＋b2＝37，
－=6.
a＝1， a＝－1，
b＝－6 b＝6.
因此所求直线l的方程为x+=1或－x+=1，即6x－y±6＝0．
【知识拓展】
一、理解直线的方向向量、法向量与倾斜角、斜率之间的关系，掌握转化的基本方法
设直线的方向向量，倾斜角为，斜率是。
1. 直线的方向向量
设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.
2. 已知，则， 。
3 若直线经过点、，当时，；
当时，，。
二．直线方程的另外几种形式
（1）斜截式：y=kx+b.
（2）点斜式：y－y0=k（x－x0）.
（3）两点式：=.
（4）截距式：+=1.
1、已知点和，若直线过原点且与线段有公共点，则的斜率取值范围是（ D ）
3、若，则直线的倾斜角是（ A ）
4、已知直线的斜率为，若直线绕其上一个定点顺时针旋转，得到直线，则的斜率为（ B ）
5. 直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是（ C ）
A.k≥－1 B.k≤1
C.－1≤k≤1且k≠0 D.k≤－1或k≥1
解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=－2k.∴三角形面积S=｜xy｜=k2.
又S≤1，即k2≤1，
∴－1≤k≤1. 又∵k=0时不合题意，故选C.
6. 设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a、b满足（ ）
A.a+b=1 B.a－b=1 C.a+b=0 D.a－b=0
解析：0°≤＜180°，又sin+cos=0，=135°，∴a－b=0.
答案：D
7、如果三点共线,则的值是 。
8、若直线的倾斜角，其斜率的取值范围是。
9. 已知直线l1：x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），并且l2的方向向量a2与a1满足a1·a2=0，则l2的方程为____________.
答案：（2，1）或（1，） 2x+y－3=0
10、过一点且法向量是的直线方程是
11、如果直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积是，研究当时，直线分别有几条，并说明理由。
时，有两条直线；时，有三条直线；时，有四条直线
12 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）.
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为，则＝2，且tan＝，tan＝tan2＝，
从而方程为8x－15y+6=0.
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－.
∴方程为2x+3y－12=0.
2、如果直线沿轴负方向平移3个单位，再沿着轴正方向平移1个单位后，与原来的直线重合，那么直线的斜率是（ A ）
3、已知直线和直线，且的方向向量恰好为的法向量，则的值是 -2 。
4、过点作直线与轴的正半轴和轴的正半轴分别交于点，是坐标原点。
求使得的最小值的直线的方程。
5. 设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为。若＜＜，试求B的取值范围；
解：（1）若=，则B=0，
若≠，则tan＜－或tan＞，
即－＜－（B＞0）或－＝＞（B＜0），
∴－2＜B＜0或0＜B＜.
综上，知－2＜B＜.

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