资源简介

教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆与圆的位置关系
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)两圆无公共点，则两圆外离.( )
(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.( )
(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，两圆相交.( )
(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.( )
2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3.圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.
1.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
类型一　圆的一般方程的
类型一　与两圆相切有关的问题
【例1】 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
【巩固训练1】 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.
类型二　与两圆相交有关的问题
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度.
【巩固训练2】 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
类型三　直线与圆的方程的应用
【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【巩固训练3】 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
1.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　)
A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1)
C.(－1，0)和(0，－1) D.(－1，0)和(0，1)
2.圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
3.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________.
4.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m的取值满足什么条件时，圆C1与圆C2相切？
【基础巩固】
1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
2.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
4.两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为________.
5.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________.
6.求与圆O：x2＋y2＝1外切，切点为P，半径为2的圆的方程.
7.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.求：
(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长.
【能力提升】
8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
9.以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.＋＝ D.＋＝
10.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
11.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？
【创新应用】
12.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于6.教师 学科 数学
学生 年级 高二
课程类型 预习课 授课时间
课题 圆与圆的位置关系
教学目标
1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。
教学重点/难点
1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。
教学安排环节
课程类型 复习课程
第1课时 进门测
作业检查
阶段知识点梳理
第2课时 阶段训练
第3课时 阶段重难点梳理
重点题型训练
思导总结
作业布置
1.判断题
(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)
(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)
(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，两圆相交.(√)
(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√)
提示　(1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.
2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
解析　圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝答案　B
3.圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d＝＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条.
答案　D
4.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.
解析　由题意可知＝2r，∴r＝.
答案　
1.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
类型一　圆的一般方程的
类型一　与两圆相切有关的问题
【例1】 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
规律方法　两圆相切时常用的性质有：
(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，
则两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).
【巩固训练1】 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.
解　设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
类型二　与两圆相交有关的问题(互动探究)
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度.
[思路探究]
探究点一　当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？
提示　两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程.
探究点二　如何求公共弦长？
提示　(1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.
解　(1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴公共弦长l＝2＝2＝2.
法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或即A(－4，0)，B(0，2).
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
规律方法　1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【巩固训练2】 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
类型三　直线与圆的方程的应用
【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0，4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
规律方法　解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
【巩固训练3】 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
解析　以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时.故选B.
答案　B
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
1.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　)
A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1)
C.(－1，0)和(0，－1) D.(－1，0)和(0，1)
解析　由解得或
答案　C
2.圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
解析　直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线.
答案　A
3.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________.
解析　 2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案　x＋3y＝0
4.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m的取值满足什么条件时，圆C1与圆C2相切？
解　对于圆C1与圆C2的方程，化为标准方程得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以两圆的圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝.
当圆C1与圆C2相外切时，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝3＋2，解得m＝－5或m＝2.
当圆C1与圆C2相内切时，则|C1C2|＝|r1－r2|，
即＝|3－2|，解得m＝－1或m＝－2.
综上可知，当m＝－5或m＝2或m＝－1或m＝－2时，两圆相切.
【基础巩固】
1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析　两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2答案　B
2.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析　圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
答案　C
3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
解析　建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4≈3.5(米).
答案　B
4.两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为________.
解析　由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝.
答案　
5.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________.
解析　圆C2可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，则圆C1，C2的圆心为C1(0，0)，C2(－2，2)，所以C1C2的中点为(－1，1)，kC1C2＝＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
答案　x－y＋2＝0
6.求与圆O：x2＋y2＝1外切，切点为P，半径为2的圆的方程.
解　设所求圆的圆心为C(a，b)，则所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝4.
∵两圆外切，切点为P，
∴|OC|＝1＋2＝3，|CP|＝2.
∴解得
∴圆心C的坐标为，
故所求圆的方程为＋＝4.
7.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.求：
(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长.
解　(1)由
两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x＋y－5＝0.
(2)圆x2＋y2－10x－10y＝0的圆心C1的坐标为(5，5)，
半径r＝5，又点C1到相交弦的距离d＝＝2.
∴公共弦长为2＝2.
【能力提升】
8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
答案　C
9.以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.＋＝ D.＋＝
解析　两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
答案　B
10.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.
设C2的坐标为(x0，x0)，则＝，
解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2
11.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？
解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).将x＝2.7代入，得y＝＝<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝.
所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为m.
【创新应用】
12.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于6.
(1)证明　圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，
圆C2：(x－3)2＋＝.
∵|C1C2|＝＝.
且－＜＜＋，
∴圆C1与圆C2相交.
(2)解　联立两圆方程，得
∴两圆公共弦所在的直线方程为2x－y＋4＝0.
(3)解　设P(x，y)，由题意，得
解方程组，得点P的坐标为(3，10)或.

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