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学习目标　1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．
导语
同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．
一、幂函数的概念
问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
知识梳理
幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意点：
(1)自变量前的系数是1.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数．
(4)函数的定义域与α有关．
例1　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思感悟　幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.
答案　16
解析　设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
二、幂函数的图象与性质
问题2　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题．
问题3　你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1这五个函数的图象吗？
提示　
问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表．
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
提示　R　R　R　[0，＋∞)　{x|x≠0}　R　[0，＋∞)　R　[0，＋∞)　{y|y≠0}　奇函数　偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数　增函数　在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减　增函数　在[0，＋∞)上单调递增　在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
知识梳理
通过以上信息，我们可以得到：
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都通过点(1,1)；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；
(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调递增，函数y＝x－1单调递减；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
注意点：一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．
(4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
答案　B
解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.
反思感悟　(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
(2)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
跟踪训练2　若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1,0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
答案　B
解析　由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，
所以m＞0，
由于y＝xm的图象增长的越来越慢，
所以m＜1，
y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，
所以n＜0，
又当x＞1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，
所以n＜－1.
三、幂函数性质的综合运用
例3　已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4,2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数的单调性，并进行证明；
(3)若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，∴m＝2或m＝0.
当m＝2时，f(x)＝，图象过点(4,2)；
当m＝0时，f(x)＝ ，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝.
(2)函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为0≤x1＜x2，＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(3)函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)＞f(2a－3)，则得≤a＜4.
综上，a的取值范围为.
反思感悟　解决幂函数的综合问题时应注意
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝(m∈N*)．若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解　∵该函数图象过点(2，)，
∴＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝.
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
1．知识清单：
(1)幂函数的定义．
(2)几个常见幂函数的图象．
(3)幂函数的性质．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法．
3．常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质．
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
答案　C
解析　只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　　)
A. B．2 C. D.
答案　A
解析　设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，
∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，
∴f(2)＝2－1＝.
3．图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　　)
A.，3，－1
B．－1,3，
C.，－1,3
D．－1，，3
答案　D
解析　由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1，
结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3.
4．若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝________.
答案　－1
解析　2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝.
当a＝时，y＝，在(0，＋∞)上单调递增，与已知不符，舍去；
当a＝－1时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，与已知相符，综上所述，a＝－1.
1．下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．
2．若幂函数的图象过点(3，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
答案　B
解析　设y＝xα，则3α＝，
∴α＝，∴y＝.
3. 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案　B
解析　在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.
4．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　)
A．1 B．2 C．1或3 D．3
答案　C
解析　因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，
所以4－m>0.所以m<4.
又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.
又因为f(x)＝x4－m是奇函数，
所以4－m是奇数，
所以m＝1或3.
5．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
答案　B
解析　y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作是由y＝的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则y＝－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
6．以下结论中，正确的为(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
答案　D
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确．
7．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
解析　因为0<2.4<2.5，
而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
8．若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(a－3)＋f(a－1)≤0的实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　由题意，不妨设f(x)＝xα，
因为幂函数f(x)过点(2,8)，则f(2)＝2α＝8，解得α＝3，
故f(x)＝x3为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数，
因为f(a－3)＋f(a－1)≤0，则f(a－3)≤－f(a－1)＝f(1－a)，
故a－3≤1－a，解得a≤2，
从而实数a的取值范围是(－∞，2]．
9．比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和 .
解　(1)函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，
又3<3.2，所以>.
(2)函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
而>，
所以>.
10．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，
又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝x2－ax－3＝2－3－在[1,3]上不单调，
则对称轴x＝满足1<<3，即2所以实数a的取值范围为(2,6)．
11．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
答案　C
解析　选项A中，幂函数的指数a<0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误．
12．已知函数f(x)＝，若0A．f(a)B．f C．f(a)D．f 答案　C
解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
又0故f(a)13．已知a，b∈R，若a＜b，则(　　)
A．a＜2b B．ab＜b2
C．a3＜b3 D．a－1＜b－1
答案　C
解析　当a＝－2，b＝－1 a＝2b，故A错误；
当a＝－2，b＝－1 ab＞b2，故B错误；
构造函数y＝x3为增函数，故得到a3＜b3，故C正确；
当a＝－2，b＝－1 a－1＞b－1，故D错误．
14．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；
(2)值域是{y|y≠0}；
(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
答案　②
解析　对于函数①，f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．
15．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________________________________________________________________________．
答案　9
解析　由题意，得2＝4α，解得α＝，
则y＝，由＝3，得x＝9，即明文是9.
16．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为.
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.

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