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第2课时　函数的最大(小)值
学习目标　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题．
导语
108这个数字大家也许并不陌生：《封神榜》里面总共有108位神仙；在《水浒传》中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在《红楼梦》中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的函数之最吧．
一、直观感知函数的最大值和最小值
问题1　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．
提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．
问题2　你是怎样理解函数图象最高点的？
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
知识梳理
函数的最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有f(x)≤M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有f(x)≥M；
(2) x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标．
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值．
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性．
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
例1　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解　作出函数f(x)的图象，如图．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
解　作出f(x)的图象如图．
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
二、利用函数的单调性求函数的最值
问题3　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
提示　最大值为f(b)，最小值为f(a)．
问题4　若f(x)＝－x2的定义域为[－1,2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
提示　不一定，需要考虑函数的单调性．
例2　已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．
(1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝－
＝.由于x2>x1>，
所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上单调递减．
(2)解　由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减，
因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
反思感悟　(1)利用单调性求最值的一般步骤
①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明　设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴<0，
即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(2)解　由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.
三、探究生活中的实际问题
例3　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x(单位：台)是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.
即月产量为300台时利润最大，最大利润为25 000元．
反思感悟　本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是①审清题意；②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；③总结结论，回归题意．
跟踪训练3　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元．
1.知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义．
(2)求解函数最值的方法．
2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
(2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论．
1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为(　　)
A．f ，f
B．f(0)，f
C．f ，f(0)
D．f(0)，f(3)
答案　B
解析　观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
答案　D
解析　∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(　　)
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
答案　D
解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数y取得最大值为3，
故函数的值域为[－1,3]．
4．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.
答案　3
解析　设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，
则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.
所以当x＝3时，S有最大值．
1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确说法的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由函数最大值的概念知②③正确．
2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
答案　A
解析　选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确．
3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为(　　)
A．42,12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，最小值为－
答案　D
解析　因为f(x)＝2－，x∈(－5,5)，所以当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
答案　C
解析　设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30
＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大值为120万元．
5．规定max{a，b}表示取a，b中的较大者，例如max{0.1，－2}＝0.1，max{2,2}＝2.则函数f(x)＝max{x＋1,4－2x}的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　当x＋1≥4－2x，即x≥1时，max{x＋1,4－2x}＝x＋1；
当x＋1＜4－2x，即x＜1时，max{x＋1,4－2x}＝4－2x；
所以f(x)＝
显然f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值为f(1)＝2.
6．(多选)若函数f(x)＝x2－4x＋1在定义域A上的值域为[－3,1]，则区间A可能为(　　)
A．[0,4] B．[2,4] C．[1,4] D．[－3,5]
答案　ABC
解析　∵函数f(x)＝x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，以直线x＝2为对称轴，
∴函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．
当x∈[0,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(0)＝f(4)＝1，得函数的值域为[－3,1]；当x∈[2,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，最大值为f(4)＝1，得函数的值域为[－3,1]；当x∈[1,4]时，函数的最小值为f(2)＝－3，∵f(1)＝－2f(5)＝6，∴最大值为f(－3)＝22，得函数的值域为[－3,22]．根据以上的讨论可得区间A不可能为[－3,5]．
7．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
答案　1
解析　若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
8．函数f(x)＝，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
答案　－　－1
解析　∵f(x)＝在[1,2]上单调递减，
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即－1≤f(x)≤－.
9．画出函数y＝－x(|x－2|－2)，x∈[－1,5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值．
解　原函数化为y＝在平面直角坐标系内作出其图象，如图．
观察图象得，函数y＝－x(|x－2|－2)的单调递减区间是[－1,0]，[2,5]，单调递增区间是(0,2)，
当x＝2时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝－5，
所以原函数最大值为4，最小值为－5.
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．
当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元，
即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案　D
解析　f(x)＝(x－1)2＋2，
∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，
且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，
∴1≤m≤2.
12．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
13．已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－4] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[－4，＋∞)
答案　C
解析　函数f(x)＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝，当－10时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1(舍)或a≥2.
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
答案　6
解析　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.
15．(多选)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝
则F(x)的最值情况是(　　)
A．最大值为3 B．最小值为－1
C．无最小值 D．无最大值
答案　CD
解析　由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，
可得F(x)无最大值，无最小值．
16．函数f(x)＝(a∈R)的定义域为(0,2]．
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
f(2)＝2＋＝，当x＞0且x趋向于0时，趋向于＋∞，
所以f(x)＝x＋趋向于＋∞，
所以函数y＝f(x)的值域为[2，＋∞)．
(2)当a≥0时，f(x)＝＝x＋，则函数y＝f(x)在(0,2]上单调递增，无最小值，当x＝2时取得最大值2－；
f(x)＝＝x＋，任取x1，x2∈(0,2]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)，当a≤－4时，函数y＝f(x)在(0,2]上单调递减，无最大值，当x＝2时取得最小值2－；当－4＜a＜0时，若x1，x2∈(0，)，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，若x1，x2∈[，2]，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数y＝f(x)在(0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
综上，当a≥0时，y＝f(x)无最小值，当x＝2时取得最大值2－；当a≤－4时，y＝f(x)无最大值，当x＝2时取得最小值2－；－4＜a＜0时，y＝f(x)无最大值，当x＝时取得最小值2.3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
学习目标　1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性．
导语
同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴．当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关哦．
一、直观感知函数的单调性
问题1　观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
问题2　如何理解函数图象是上升的？
提示　按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．
知识梳理
函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
注意点：
(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集．
(2)同区间性，即x1，x2∈D.
(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替．
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小．
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间．
解　f(x)＝x2－4|x|＋3＝
如图．
由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2)．
反思感悟　(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开．
跟踪训练1　画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
解　y＝|x|(x－2)＝
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
二、利用定义证明函数的单调性
例2　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减．
证明　 x1，x2∈(2，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为2所以x2－x1>0，x>4，x>4，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减．
反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．
(4)结论：根据定义确定单调性．
跟踪训练2　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
证明　 x1，x2∈(－∞，0)，且x1因为f(x1)－f(x2)＝－－1－＝－＝，
由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
三、函数单调性的简单应用
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4]
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案　[4,8)
解析　因为f(x)是R上的增函数，所以
解得4≤a<8.
延伸探究
在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________________________________________________________________________．
答案　－4
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
反思感悟　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
跟踪训练3　已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．若该函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则x的取值范围为________．
答案　(－∞，1)　
解析　若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
则2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
则
解得x>，
∴x的取值范围为.
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．
1. 函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案　C
解析　由图象知f(x)的单调递增区间为[－3,1]．
2．若函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案　C
解析　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5)．
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
答案　C
解析　由2k－1<0，得k<.
4．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)答案　(－2,1)
解析　由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－21. 函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C. D．(－∞，3)
答案　A
2．下列说法中，正确的有(　　)
①函数y＝x2在R上是增函数；②函数y＝－在定义域上是增函数；③函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案　A
3．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
答案　C
解析　因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x14．已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则(　　)
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
答案　D
解析　∵f(x)关于x＝4对称且在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，4)上单调递增，且f(5)＝f(3)，f(6)＝f(2)，
∴f(3)>f(2)＝f(6)，故选D.
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－24,40) B．[－24,40]
C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)
答案　D
解析　∵函数f(x)＝4x2－kx－8的图象的对称轴方程为x＝，
且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
∴根据二次函数的性质可知≥5，解得k≥40，则k的取值范围为[40，＋∞)．
6．(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝1－x
答案　ABC
解析　由函数的图象知f(x)＝－，f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增．
7．函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是___________________．
答案　[－1,1]和[3，＋∞)
解析　y＝|x2－2x－3|
＝|(x－1)2－4|，
作出该函数的图象，如图．
由图象可知，
其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
8．已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)答案　
解析　由题意知解得09．画出下列函数的图象，并写出它的单调区间．
(1)f(x)＝|x＋2|；
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.
解　(1)图象如下，
f(x)的单调递增区间为[－2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－2)．
(2)图象如下，
f(x)的单调递增区间为和[2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，1)和.
10．证明函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
证明　设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝，
因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
11．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案　A
解析　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2.
12．函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
答案　C
13．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．[－3,0) D．[－3，－2]
答案　D
解析　由于函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，
因此函数h(x)＝－x2－ax－5在区间(－∞，1]上单调递增，
g(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递增，
且g(1)≥h(1)，即
解得－3≤a≤－2.
14．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　[－3,0]
解析　①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，
∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，
对称轴为x＝－，
∴
解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．
15．在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a.
(2)对任意a∈R，a*0＝a.
(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，则函数f(x)＝x*的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　在(3)中，令c＝0，得a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)+ (a*0)+ (b*0)-2×0=ab+a+b，则f(x)=x*＝＋＝2－，易知函数f(x)的单调递减区间为.
16．设函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且满足条件f(4)＝1，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
解　(1)∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)设00，得f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)f(16)，
∴f((x＋6)x)>f(16)，∴
解得x>2，∴x的取值范围是(2，＋∞)．

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