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3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题．
导语
古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美．”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美．
一、函数奇偶性的概念
问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示　这两个函数图象都关于y轴对称．
问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．
问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果．
提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．
知识梳理
偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
注意点：
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．
(2)先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数．
(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称．
(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.
(5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数．
二、函数奇偶性的判断
例1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
(4)f(x)＝x－.
解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵ x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，
且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
反思感悟　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)．
解　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝是奇函数．
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数．
三、奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
解　(1)由题意作出函数图象如图．
(2)由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解　(1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)由图可知，单调递增区间为(－1,1)．
(3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}．
反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
跟踪训练2　定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)四、利用函数的奇偶性求值
例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案　　0
解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案　7
解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　C
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案　－1
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
1．知识清单：
(1)函数奇偶性的概念．
(2)奇函数、偶函数的图象特征．
2．方法归纳：特值法、数形结合法．
3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称．
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
答案　C
解析　∵奇函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝0，即a＝1.
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
答案　B
解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2
C．y＝ D．y＝x|x|
答案　CD
解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；
又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.
4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________________________________________________________________________．
答案　0
解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　B
解析　∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，得a＝1.
3．若函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是(　　)
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．不能确定
答案　B
解析　＝1 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，
∴其图象的对称轴为y轴．
4. 如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．0
答案　A
解析　f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2.
5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．1
答案　A
解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，
所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4.
6．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
答案　ABC
解析　选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.
7. 设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_______________________________________．
答案　{x|－5≤x<－2或2解析　因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集．
因为当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[－5,0]时，f(x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}．
所以f(x)<0的解集是{x|－5≤x<－2或28. 已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________．
答案　[－3，－1)∪(1,3]
解析　因为当09．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解　(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
11．已知f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，那么a＋b等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　∵f(x)＝ax3＋bx2是定义在[a－1,3a]上的奇函数，
∴定义域关于原点对称，即a－1＋3a＝0，解得a＝，
则函数f(x)＝x3＋bx2.
再由奇函数的定义得f(－x)＝－f(x)，
－x3＋bx2＝－，
∴b＝0，则a＋b＝.
12．函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　B
解析　若x是有理数，则－x也是有理数，
∴f(－x)＝f(x)＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，
∴f(－x)＝f(x)＝0.
∴函数f(x)是偶函数．
13．(多选)对于定义在R上的函数f(x)，则下列判断正确的是(　　)
A．若函数f(x)满足f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数
B．若函数f(x)满足f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数
C．若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)是R上的单调增函数
D．若函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)不是R上的单调减函数
答案　BD
解析　A选项，若f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝0，f(2)＝0，故f(－2)＝f(2)，又f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；
B选项，依据偶函数的定义知，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，则可知满足f(2)≠f(－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；
C选项，若f(x)＝x2，则f(2)＝4，f(1)＝1，故f(2)＞f(1)，但函数f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，故C错误；
D选项，因为2＞1，f(2)＞f(1)，所以f(x)不是R上的单调减函数，故D正确．
14．已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________________________________________________________________________．
答案　0
解析　因为奇函数的图象关于原点对称，
所以a－4＋2a－2＝0，
所以a＝2，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，
即b＋2＝0，故b＝－2，
所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
15．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案　
解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，
而h(x)＝是奇函数，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]
＝2－f(a)＝2－＝.
16．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
(1)证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)解　由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.第2课时　奇偶性的应用
学习目标　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
一、根据函数奇偶性求函数的解析式
知识梳理
用奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
延伸探究
1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝.②
联立①②得f(x)＝，g(x)＝.
反思感悟　(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
跟踪训练1　(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式．
解　设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又f(x)在R上为偶函数，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1.
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式．
解　设x>0，则－x<0，
则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
二、利用函数奇偶性与单调性比较大小
问题　想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？
提示　奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增．
知识梳理
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a以上a，b符号相同．
例2　已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)
A．f(－0.5)B．f(－1)C．f(0)D．f(－1)答案　B
解析　∵函数f(x)为奇函数，
且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(－1)反思感悟　比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练2　设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)答案　A
解析　由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，
∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
反思感悟　利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式；
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．
跟踪训练3　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
答案　{x|－33}
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，
解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，
解得－3故所求解集为{x|－33}．
1．知识清单：
(1)利用奇偶性求函数的解析式．
(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．
1．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(－2)等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　B
解析　由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0.
2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)
A．f B．f(2)C．f(2)D．f(－1)答案　B
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1，∴f(2)＝f(－2)3．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b等于(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．2
答案　C
解析　当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故a＋b＝0.
4．已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________．
答案　(－3,3)
解析　由题意可知|a|<3，解得－31．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a 等于(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．－2
答案　A
解析　根据题意，得f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，变形可得(a＋1)x＝0，则a＝－1.
2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　A
解析　因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即函数f(x)＝－2x2＋1，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
3．如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上(　　)
A．单调递增且最小值为－5
B．单调递增且最大值为－5
C．单调递减且最小值为－5
D．单调递减且最大值为－5
答案　A
解析　∵f(x)为奇函数，
∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，
又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，
∴f(1)＝－5.
4．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于(　　)
A．6 B．－6 C．2 D．－2
答案　A
解析　g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
5．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
答案　B
解析　方法一　当x<0时，f(x)＝x2＋x＝2－，
所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二　(直接法)当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
6. (多选)一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．这个函数有三个单调递增区间
B．这个函数有两个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
答案　AC
解析　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________．
答案　f(－2)解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)即f(－2)8．函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案　＋1
解析　∵f(x)为偶函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝＋1，
即x<0时，f(x)＝＋1.
9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得
f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
解　F(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0.
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
11．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 022)＝k，则f(－2 022)等于(　　)
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
答案　D
解析　方法一　令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，则g(x)是奇函数，
从而f(－2 022)＝g(－2 022)＋1
＝－g(2 022)＋1.
又因为f(2 022)＝k，所以g(2 022)＝k－1，
从而f(－2 022)＝－(k－1)＋1＝2－k.
方法二　因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，
所以f(－2 022)＋f(2 022)＝2.
又因为f(2 022)＝k，所以f(－2 022)＝2－k.
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案　C
解析　∵f(x)为奇函数，<0，
即<0，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，
∴当x>1时，f(x)<0，<0.
∵奇函数的图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0，
∴当x<－1时，f(x)>0，<0.
综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
13．若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有(　　)
A．最大值－8 B．最小值－8
C．最小值－6 D．最小值－4
答案　D
解析　∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数，
∴T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数．
又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，
∴T(x)＝af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6，
∴T(x)＝af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6，
∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4.
14．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
答案　(－1,3)
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(|x－1|)>f(2)．
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3)．
15．已知定义在R上的奇函数满足f(x＋8)＝f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(　　)
A．f(25)B．f(25)C．f(－1)D．f(－1)答案　D
解析　∵f(x＋8)＝f(x)，
∴f(25)＝f(17)＝f(9)＝f(1)，
同理f(80)＝f(0)，
又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，
∴f(x)在区间[－2,2]上单调递增，
∴f(－1)即f(－1)16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)＝－2.试求函数f(x)在[－3,3]上的值域．
解　任取x1，x2，且－3≤x1＜x2≤3，则x2－x1＞0，f(x2－x1)＜0，
∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在[－3,3]上单调递减，
又f(1)＝－2，f(2)＝f(1)＋f(1)＝－4，
∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝－2－4＝－6，又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，又f(x)在[－3,3]上单调递减，
∴函数f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．

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