资源简介

习题课　反比例函数、对勾函数
学习目标　1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.2.能通过构造函数解决实际问题．
一、反比例函数的图象和性质
问题1　反比例函数的一般形式是什么？
提示　y＝，其中x为自变量且x≠0，k为常数．
问题2　反比例函数的图象会过坐标原点吗？
提示　不会，因为x≠0.
例1　画出反比例函数y＝的图象．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)判断函数的单调性和奇偶性．
解　(1)函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为{y|y≠0}．
(2)令y＝f(x)，当k>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递增区间，证明如下：
当x>0时， x1，x2∈(0，＋∞)且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵k>0，x1>0，x2>0，x1∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
同理当x<0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减．
当k<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调递减区间(证明略)．
f(x)为奇函数．
反思感悟　研究反比例函数的几个方面
(1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到．
(2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的连接方法．
(3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性．
(4)函数图象关于(0,0)中心对称．
跟踪训练1　作出y＝(－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间．
解　由题意知函数y＝(－2≤x<1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，
当x＝－2时，y＝＝－1；当x＝1时，y＝＝2；
所以该函数图象如图：
由图象可知，函数y＝(－2≤x<1且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．
单调递减区间为[－2,0)和(0,1)，没有单调递增区间．
二、对勾函数的图象和性质
问题3　观察函数y＝x＋解析式的特点，你想到了什么？
提示　学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数y＝x＋.
问题4　大家讨论一下，如何作出该函数的图象？
提示　借助计算机软件，我们绘制出它的图象．
问题5　观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？
提示　发现该函数图象介于y＝x和y轴之间，且图象无限接近y＝x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”．
问题6　结合函数的解析式和函数图象，你能得出f(x)＝x＋的哪些性质？
提示　(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)值域：函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．
(5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2.
(6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0,0)成中心对称．
例2　探究函数f(x)＝x＋(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
解　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f(x)＝x＋(a>0)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(0，]，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
因为0所以x1－x2<0,0所以>1，
所以1－<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，]上单调递减．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以<1，所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在(，＋∞)上单调递增．
同理，f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．
其图象如图所示．
延伸探究　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)．
解　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)，
因为0所以x1－x2<0，
又a<0，所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
其简图如图所示．
跟踪训练2　函数f(x)＝x＋.
(1)x∈[1,3]，f(x)的最小值是________；
(2)x∈，f(x)的值域为________；
(3)x∈∪(0,3]，f(x)的值域为________．
答案　(1)2　(2)　(3)∪[2，＋∞)
解析　(1)∵f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)＝2.
(2)∵f(x)在上单调递减，在[1,3]上单调递增，
∴最小值为f(1)＝2，
∵f ＝<＝f(3)，∴最大值为f(3)，
∴f(x)的值域为.
(3)x∈∪(0,3)，f(x)在上单调递减，∴f(x)在上的值域是，f(x)在(0,3]上先单调递减，然后单调递增，在f(1)处取得最小值，∴f(x)在(0,3]上的值域是[2，＋∞)，∴f(x)的值域为∪[2，＋∞)．
三、对勾函数的综合运用
问题7　应用基本不等式求最值应注意哪些？
提示　一正，二定，三相等．
例3　已知函数f(x)＝.
(1)当a＝4时，求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的最小值；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值．
解　(1)当a＝4时，f(x)＝＝x＋－2，
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
∴f(x)的最小值为2.
(2)f(x)＝x＋－2，设0f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝(x1－x2)
＝，
∵0∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，)上单调递减，同理可证f(x)在(，＋∞)上单调递增，
当0f(x)min＝f(2)＝；
当a>4时，>2，函数f(x)在[2，)上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f()＝2－2.
设f(x)的最小值为g(a)，
∴g(a)＝
反思感悟　求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式．
跟踪训练3　(1)已知x＞0，求y＝的最大值，并求此时x的值．
解　y＝＝≤，当且仅当x＝2时，ymax＝.
(2)已知x≥2，求y＝x＋的最小值(提示：利用图象助解)．
解　作出y＝x＋(x＞0)的图象，可知函数在x≥2时单调递增，∴x＝2时，ymin＝.
1．知识清单：
(1)反比例函数的图象和性质．
(2)对勾函数的图象和性质．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域．
1．函数y＝，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是(　　)
A．m<3 B．m>3
C．m<－3 D．m>－3
答案　A
解析　在反比例函数y＝中，若k>0，在x>0时，y随x的增大而减小，若k<0，在x>0时，y随x的增大而增大，所以由题意得m－3<0，m<3.
2．(多选)已知函数y＝，下列结论中正确的是(　　)
A．其图象经过点(3,1)
B．其图象分别位于第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而减小
D．当x>1时，y>3
答案　ABC
解析　反比例函数y＝，当x＝3时，y＝1，故A正确；
因为y＝分子大于0，所以图象在第一、三象限，故B正确；
反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以C正确；
因为在(0，＋∞) 上，y＝单调递减，所以当x>1时，03．已知点P(a，m)，Q(b，n)都在函数y＝－的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是(　　)
A．m＋n＜0 B．m＋n＞0
C．m＞n D．m＜n
答案　C
解析　反比例函数y＝－中，k＝－2 023＜0，图象位于第二、四象限，
∵a＜0，
∴P(a，m)在第二象限，
∴m＞0.
∵b＞0，
∴Q(b，n)在第四象限，
∴n＜0.
∴n＜0＜m，
即m＞n.
4．已知对勾函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在(－a，0)和(0，a)上单调递减．若对勾函数f(x)＝x＋(t>0)在整数集合Z内单调递增，则实数t的取值范围为________．
答案　(0,2)
解析　根据题意得f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，要使f(x)在整数集合Z内单调递增，则即解得0∴实数t的取值范围为(0,2)．
1．已知集合A＝，B＝，C＝，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
答案　A
解析　∵函数y＝的定义域为A＝＝{x|x≠0}，值域为B＝＝{y|y≠0}，又集合A，B都是数集，C是点集，∴A＝B.
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的解析式为(　　)
A．p＝96V B．p＝－
C．p＝ D．p＝
答案　D
解析　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设p＝，由图象可知，点(1.5,64)在函数图象上，所以64＝，解得k＝96，故p＝.
3．函数f(x)＝x＋在区间[1,3]上的最大值是(　　)
A．3 B．5 C．4 D.
答案　B
解析　由对勾函数的图象的特点可知，x＝2时函数有最小值，x＝1时，函数有最大值为5.
4．函数f(x)＝x＋(a>0，x∈R，x≠0)的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．无法判断
答案　A
5．函数g(x)＝x＋的单调递减区间为(　　)
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－2,2)
C．(－2,0)和(0,2) D．(－∞，－2)和(2，＋∞)
答案　C
6．(多选)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　)
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝
C．f(x)＝1＋ D．f(x)＝－x－
答案　CD
解析　对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，
则函数在区间(1，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故A不满足题意；
对于B，f(x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意；
对于C，f(x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意；
对于D，f(x)＝－x－ ，显然函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故D满足题意．
7．函数y＝的对称中心为________．
答案　(－1,1)
解析　∵y＝＝＝1－，
故该函数是由y＝－先向左平移1个单位长度．
再向上平移1个单位长度得到的，
∴对称中心为(－1,1)．
8．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋a与函数y＝的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 ____________.
答案　a<－2或a>2
解析　联立整理得x2－ax＋1＝0，①
函数y＝－x＋a与反比例函数y＝的图象有两个公共点，
则方程组有两个解，即方程①有两个不同的解，
Δ＝a2－4>0，a<－2或a>2.
9．作出函数y＝的图象，并写出函数的单调区间和值域．
解　y＝＝1＋，图象如图所示．
函数在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减．
因为≠0，所以1＋≠1.
故单调递减区间为(－∞，2)和(2，＋∞)，无单调递增区间．值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
10．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元．记两项费用之和为w.
(1)求w关于x的解析式；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
解　(1)∵每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，
∴可设y1＝，
∵每月库存货物费y2(单位：万元)与(4x＋1)成正比，
∴可设y2＝(4x＋1)k2，
又∵在距离车站10 km处建仓库，则y1与y2分别为2万元和8.2万元，
∴k1＝2×10＝20，k2＝＝0.2，
∴y1＝，y2＝(4x＋1)×0.2＝0.8x＋0.2，
∴w＝y1＋y2＝＋0.8x＋0.2(x＞0)．
(2)∵w＝＋0.8x＋0.2≥2＋0.2＝8.2，当且仅当＝0.8x，即x＝5时等号成立，
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为8.2万元．
11．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
答案　B
解析　令t＝1＋x2，则t∈[1，＋∞)，又y＝在t∈[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝(x∈R)的值域为(0,1]．
12．设函数f(x)＝(x＜0)，则函数f(x)(　　)
A．有最小值2－1
B．有最大值2－1
C．有最小值－2－1
D．有最大值－2－1
答案　D
解析　∵x＜0，
∴f(x)＝＝2x＋－1
＝－－1≤－2－1＝－2－1，
当且仅当－2x＝，即x＝－时，等号成立．
∴f(x)max＝－2－1.
13．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区最少需要(　　)
A．5 h B．10 h C．15 h D．20 h
答案　B
解析　由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路程为400＋252＝400＋，
设这批物资全部到达灾区的时间为t h，
∴t＝＝＋≥2＝10.
当且仅当＝，即v＝80时，等号成立．
故这批物资全部到达灾区最少需要10 h.
14．函数f(x)＝x－的单调递增区间为________．
答案　(－∞，0)和(0，＋∞)
解析　画出函数图象如图，可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝若存在0答案　(96,100)
解析　∵f(x)＝
可得函数图象如图所示．
由图可知，当y∈(4,5)时，存在0不妨令此时y＝a，则对于x1，x2满足方程x＋＝a，即x2－ax＋4＝0，所以x1x2＝4；对于x3，x4满足方程－x2＋10x－20＝a，即－x2＋10x－20－a＝0，所以x3＋x4＝10，则有x4＝10－x3，
∴x1x2x3x4＝4x3x4＝4x3(10－x3)＝－4(x3－5)2＋100，
其中x3∈(4,5)，则－4(x3－5)2＋100∈(96,100)，
即x1x2x3x4∈(96,100)．
16．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
(1)已知f(x)＝2x＋1＋－8，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解　(1)设t＝2x＋1，则f(x)＝u(t)＝t＋－8，
因为x∈[0,1]，则t＝2x＋1∈[1,3]．
由已知性质可知u(t)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
当2x＋1＝2，即x＝时，f(x)min＝f ＝－4，
又f(0)＝－3，f(1)＝－，
所以f(x)max＝－3，所以值域为[－4，－3]．
(2)因为g(x)＝－x－2a为减函数，所以当x∈[0,1]时，g(x)∈[－1－2a，－2a]．
因为对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，
所以f(x)的值域是g(x)值域的子集，
即[－4，－3] [－1－2a，－2a]，则
解得a≥且a≤，即a＝.

展开更多......

收起↑