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习题课　函数性质的综合问题
学习目标　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.2.掌握函数性质的综合应用问题．
一、函数图象的对称性
问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；
反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
知识梳理
1．函数图象关于直线对称
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x) 直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝
2.函数图象关于点对称
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
例1　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋，则f 等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D.
答案　B
解析　∵y＝f(x)的图象关于点对称，
∴f ＋f ＝0，
即f(1＋x)＋f(－x)＝0.
又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，
∴f ＝－f ＝0.
反思感悟　解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：
(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论．
(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题．
注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
跟踪训练1　若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)C．f 答案　B
解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)．
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f(x)在(0,2)上单调递增，<1<，
∴f 即f 二、函数性质的综合应用
例2　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.
(1)确定函数f(x)的解析式．
(2)用定义法证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
(1)解　根据题意得即
解得∴f(x)＝.
(2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－1∴x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0,1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)解　f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴解得0∴不等式的解集为.
反思感悟　奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域．
跟踪训练2　已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域．
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集．
解　(1)由题意可知
所以解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上是减函数，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.
1．知识清单：
(1)函数的对称轴和对称中心．
(2)函数奇偶性的综合应用．
2．方法归纳：数形结合、等价转化．
3．常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0.
1．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　)
答案　B
2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定
答案　A
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是(　　)
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]
答案　C
解析　因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．
又当x≥0时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，
解得x≥－1.
4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是 ________.
答案　(－7,3)
1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2)的值是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　A
解析　由题意得f(0＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
2．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．有增有减 D．增减性不确定
答案　B
解析　由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减．
3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，当－2≤x<0时，f(x)＝，则f 等于(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　D
解析　∵f(x)＝f(4－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f ＝f .
又∵函数f(x)为奇函数，
∴f ＝－f ＝－(－2)＝2，即f ＝2.
4．已知函数f(x)在区间(0,2)上是减函数，又函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么f(x)(　　)
A．在区间(2,4)上是减函数
B．在区间(2,4)上是增函数
C．在区间(－2,0)上是减函数
D．在区间(－2,0)上是增函数
答案　B
解析　∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f(x＋2)关于y轴对称，
即函数y＝f(x)关于x＝2对称，
∵函数f(x)在(0,2)上是减函数，
∴函数f(x)在(2,4)上是增函数．
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
答案　A
解析　偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1)解这个不等式得x的取值范围是.
6．(多选)若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　)
A．3个交点的横坐标之和为0
B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C．f(0)＝0
D．f(0)的值与函数解析式有关
答案　AC
7．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4,4)，且在(－4,0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．
答案　(－4，－2)∪(0,2)
解析　设h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
所以h(x)是奇函数，
由图象可知，当－40，g(x)<0，
即h(x)<0，
当00，即h(x)<0，
所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
答案　0
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又f(x)关于直线x＝对称，
∴f ＝f .①
在①式中，当x＝时，f(0)＝f(1)＝0.
在①式中，以＋x代替x，得
f ＝f ，
即f(－x)＝f(1＋x)．
∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
同理，f(4)＝f(5)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝1＋.
(1)求f(2)的值；
(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0)上的单调性；
(3)求当x>0时，f(x)的解析式．
解　(1)根据题意，得函数f(x)为奇函数，
当x<0时，f(x)＝1＋，
则f(2)＝－f(－2)＝－＝－.
(2)根据题意得，当x<0时，f(x)＝1＋.
在(－∞，0)上任取x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
又由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，
可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
(3)当x>0时，－x<0，则f(－x)＝1－，
由函数f(x)为奇函数知f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－1＋＝－.
10．已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．求函数g(m)的解析式．
解　因为f(x)＝x2－mx＝2－(m>0)，所以当0<≤2，即0g(m)＝f ＝－.
当＞2，即m>4时，函数f(x)＝2－在区间[0,2]上单调递减，
此时g(m)＝f(2)＝4－2m.
综上可知，g(m)＝
11. 定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图，则下列函数中在(－2,0)上与f(x)的单调性不同的是(　　)
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
C．y＝ D．y＝
答案　D
解析　易知f(x)在(－2,0)上单调递减，A，B，C选项中函数在(－∞，0)上单调递减，D选项中，函数在(－∞，0)上单调递增．
12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f(x)－1为奇函数 B．f(x)－1为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
答案　C
解析　∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，
令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.
令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.
∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，
∴f(x)＋1为奇函数．
13．设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)
A．{x|－11}
B．{x|x<－1或0C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－1答案　D
解析　∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(－x)＝－f(x)，
x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，
又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的大致图象如图所示．
则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为
{x|－114．已知函数f(x)＝若f(x－1)答案　(－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析　若x>0，则－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x＝f(x)，
同理可得，当x<0时，f(－x)＝f(x)，
且x＝0时，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函数．
因为当x>0时，函数f(x)单调递增，
所以不等式f(x－1)整理得x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
15．(多选)函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列函数有对称中心的是(　　)
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3－3x2
C．f(x)＝x4＋x2 D．f(x)＝
答案　ABD
解析　∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b.
对于A，由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，
∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；
对于B，f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，
∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，
∴当a＝1，b＝－2时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C，∵f(x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为．
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D，f(x)＝的图象如图所示．其图象关于(1,0)对称．
16．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f(x)满足f(xy)＝f(x)－f ，且函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．
(1)求f(－1)，并证明函数y＝f(x)是偶函数；
(2)若f(2)＝1，解不等式f －f ≤1.
解　(1)令y＝≠0，则f ＝f(x)－f ，
得f(1)＝f(x)－f(x)＝0，
再令x＝1，y＝－1，可得f(－1)＝f(1)－f(－1)，
得2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
令y＝－1，可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，
又该函数的定义域关于原点对称，
所以f(x)是偶函数．
(2)因为f(2)＝1，又该函数为偶函数，所以f(－2)＝1.
因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f －f ＝f ＝f(2x－4)，
所以f(|2x－4|)≤f(2)，即
解得1≤x<2或2所以不等式f －f ≤1的解集为[1,2)∪(2,3]．

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