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第三章 导数及其应用
专题1：导数的概念及其意义、导数的运算
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导 数(也称为瞬时变化率 )，记作f ′( x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f ′(x)(或y ′)，即f ′(x)＝y ′＝ .
提醒：f ′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0)) ′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)) ′＝0.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜 率，相应的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f ′(x)＝
f(x)＝sin x f ′(x)＝
f(x)＝cos x f ′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f(x)＝ex f ′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f(x)＝ln x f ′(x)＝
4.导数的运算法则
若f ′(x)，g ′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)] ′＝f ′( x)±g ′(x)；
(2)[f(x)·g(x)] ′＝f ′(x)g(x )＋f(x)g ′(x)；
(3)＝ (g(x)≠0)；
(4)[cf(x)] ′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y ′x＝y ′u·u ′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
函数y＝f(x)的导数f ′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
考点一　导数的运算
（2022·辽宁抚顺·高二期末）是函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，然后求出和判断
【详解】
因为，所以，
所以，．
故选：A
（2022·青海青海·高二期末（理））已知，则等于（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】对函数求导，在导函数中代入，即得.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
考点二　导数的几何意义
导数与函数图象
已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【答案】B
【解析】由y＝f ′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B．
求切线方程
1.（2022·辽宁大连·高二期末）已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解.
【详解】
因为函数，所以
切点为，即，
所以，所以切线方程为，
即.
故答案为：.
2.（2022·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.
【答案】（或）
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.
【详解】
解：由题意可知切点坐标为，由得，
，即切线的斜率，切线方程为，即（或）.
故答案为：
求参数的范围（值）
（2022·青海青海·高二期末（文））已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得．
【详解】
∵函数，
∴，，
∵在点处的切线为，
∴，
解得，，
∴．
故选：C.
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
两曲线公切线问题
1.（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】
由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即 ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
【答案】或
【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到，的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.
【详解】
根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.
设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.
故 由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.
则或
故或.
故答案为：或
1．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
2．（2020·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
3．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
一、单选题
1．曲线在点的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．5
4．已知函数（其中e为自然对数的底数）的图象在处的切线的斜率为8，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
5．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
6．向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位：）与时间t（单位：s）的函数关系式为，则当时，容器中水的高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列直线中，与曲线在点处的切线平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．0
三、填空题
12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________．
13．已知为可导函数，且，则_______．
14．已知函数，则函数在点处的切线方程为______.
15．已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___．
四、解答题
16．求下列函数的导数：
(1)；
(2).
17．已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 导数及其应用
专题1：导数的概念及其意义、导数的运算
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y ′|，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f ′(x)(或y ′)，即f ′(x)＝y ′＝ .
提醒：f ′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0)) ′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)) ′＝0.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f ′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a
f(x)＝ex f ′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f(x)＝ln x f ′(x)＝
4.导数的运算法则
若f ′(x)，g ′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)] ′＝f ′(x)±g ′(x)；
(2)[f(x)·g(x)] ′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)] ′＝cf ′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y ′x＝y ′u·u ′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
函数y＝f(x)的导数f ′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
考点一　导数的运算
（2022·辽宁抚顺·高二期末）是函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，然后求出和判断
【详解】
因为，所以，
所以，．
故选：A
（2022·青海青海·高二期末（理））已知，则等于（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】对函数求导，在导函数中代入，即得.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
考点二　导数的几何意义
导数与函数图象
已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
【答案】B
【解析】由y＝f ′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B．
求切线方程
1.（2022·辽宁大连·高二期末）已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解.
【详解】
因为函数，所以
切点为，即，
所以，所以切线方程为，
即.
故答案为：.
2.（2022·辽宁·高二期末）过点且与曲线相切的直线方程是__________.
【答案】（或）
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.
【详解】
解：由题意可知切点坐标为，由得，
，即切线的斜率，切线方程为，即（或）.
故答案为：
求参数的范围（值）
（2022·青海青海·高二期末（文））已知函数在点处的切线为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得．
【详解】
∵函数，
∴，，
∵在点处的切线为，
∴，
解得，，
∴．
故选：C.
2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
两曲线公切线问题
1.（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】
由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即 ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
【答案】或
【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到，的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.
【详解】
根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.
设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.
故 由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.
则或
故或.
故答案为：或
1．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】
∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
2．（2020·全国·高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
3．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
(1)
由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)
，则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则的值域为，故的取值范围为.
4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究
(1)
的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
(2)
设
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以
当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增,
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
一、单选题
1．曲线在点的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意可得，∴，即，
∴切线方程为．
故选： B
2．若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据导数求切线方程的即可.
【详解】
设切点坐标为，由，则，且，将代入得，故a=1.
故选：A
3．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．5
【答案】B
【分析】利用导函数可求出，然后利导数的几何意义即得.
【详解】
由题可得，令，得，
所以，即，
所以的图象在点处的切线的斜率为.
故选：B.
4．已知函数（其中e为自然对数的底数）的图象在处的切线的斜率为8，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】B
【分析】求出f(x)的导数，将点的横坐标代入得斜率8，解出实数a即可.
【详解】
，，解得．
故选:B．
5．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则，即可判断.
【详解】
根据导数的运算法则可知，.
故选：B
6．向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位：）与时间t（单位：s）的函数关系式为，则当时，容器中水的高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的物理意义求解即可
【详解】
，当时，，故当时，容器中水的高度的瞬时变化率为.
故选：B
7．下列直线中，与曲线在点处的切线平行的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求得，根据导数的几何意义可知：平行的直线的斜率为，分析判断，注意排除重合的可能．
【详解】
，则
∴平行的直线的斜率为
∵A、C选项中直线的斜率为，A、C错误；
过切点，斜率为，即为曲线在点处的切线，D错误；
的斜率为，且不与重合，B正确；
故选：B．
二、多选题
8．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据导数的计算依次求出每个函数的导数即可.
【详解】
，，，，
故选：BC
9．已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】求出各个选项中的导函数，结合“新驻点”的定义，逐个求解是否有解即可
【详解】
根据“新驻点”的定义，即判断方程是否有解.
选项A. ,则,可得，故有新驻点.
选项B. ,则可得或，故有新驻点.
选项C. ，由，设
，所以在上单调递增.
由，所以存在，使得
所以函数有新驻点.
选项D. ，由,显然无解, 故无新驻点.
故选：ABC
10．设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可知，有解，然后逐个分析求解即可
【详解】
因为直线能作为曲线的切线，
所以有解，
对于A，由，得，由，得，解得，
所以直线能作为曲线的切线，所以A正确，
对于B，由，得，由，得，
化简得，因为，所以方程无解，所以直线不能作为曲线的切线，所以B错误，
对于C，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以C正确，
对于D，由，得，由，得，解得，所以直线能作为曲线的切线，所以D正确，
故选：ACD
11．已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．0
【答案】BD
【分析】利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与有一个公共点，讨论、判断公共点的个数，即可得a值.
【详解】
解：令，则，则，
∴在处的切线方程为，即.
又与有且仅有一个公共点，
∴，整理得，
当时，，可得，
当时，显然只有一个解，符合题设；
∴或.
故选：BD.
三、填空题
12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________．
【答案】
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】
因为，所以切线的斜率为，
而切线与直线垂直，所以，解得，
故答案为：．
13．已知为可导函数，且，则_______．
【答案】
【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.
【详解】
解：因为.
故答案为：.
14．已知函数，则函数在点处的切线方程为______.
【答案】
【分析】求导，利用导数求切线斜率，再求切点纵坐标，然后由点斜式可得.
【详解】
因为，所以切线斜率，
又，所以切线方程为，即.
故答案为：
15．已知曲线在点处的切线为l，则直线l的方程为___．
【答案】
【分析】先求导，则，再由点斜式求解即可
【详解】
因为，
所以，，
所以切线方程为：，即，
故答案为：
四、解答题
16．求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可.
(1)；
(2).
17．已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据基本初等函数的导数和导数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）由（1）分别求得和，结合导数的几何意义，即可求解.
(1)解：由题意，函数，
可得.
(2)解：当时，可得，
由（1）得，所以，
所以函数的图像在点处的切线方程，即.

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