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第三章 导数及其应用
专题3：函数的极值与最大（小）值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f ′(x0)＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一　利用导数求函数的极值
根据函数图象判断极值
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
【答案】C
【分析】根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
【答案】D
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；
故选：D
3．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（ ）
A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点
【答案】C
【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数.
【详解】
由题图知：从左到右依次分为5个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点，
综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点.
所以C正确，A、B、D错误.
故选：C
求已知函数的极值
1．（2022·北京平谷·高二期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.
【详解】
对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求函数的极大值与极小值．
【答案】，
【分析】先求的值，发现需要讨论的正负，分别判定在的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
【详解】
解：，
令，则或，
当，随着x的变化，与的变化情况如下：
x 0
0 0
极大值 极小值
所以，；
当时，随的变化，与的变化如下表：
x 0
0 0
极小值 极大值
所以，，
综上所述，，.
已知极值（点）求参数
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
2．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ）
A．-2 B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】求得的导数，注意分解因式，讨论a＝0， ，a，0＜a，a＜0，由极大值的定义，即可得到所求a的范围．
【详解】
的导数为，
若a＝0则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．
x＝2处取得极大值，满足题意；
若a，则，递增，无极值；
若，则2，在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a，则2，在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．
x＝2处取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：．
故选：AB
考点二　利用导数求函数的最值
1．（2022·四川雅安·高二期末（理））若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可
【详解】
由在上恒成立，得
在上恒成立，
当时，上式显然成立，
当时，令，，
则，
当时，，所以在上递增，
而当时，，不合题意，
当时，由，得，
令，，作出两函数的图象，如图所示
由图象可知，存在，使，所以，得，
当时，，当时， ，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以
，
由，得，得，
综上，，
2．（2022·辽宁沈阳·高二期末）设函数，，其导函数为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，为整数，且当，，求的最大值．
【答案】(1)详见解析；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导函数，再按、讨论正负即可得解；
(2)根据给定条件将不等式等价转化并分离参数，构造函数，讨论它的最小值即可得解.
(1)
因为的定义域为R，．
当时，则，在R上单调递增；
当时，则，解得，
当x变化时，，变化如下表：
x
－ 0 ＋
单调减 极小值 单调增
综上，当时，在R上单调递增；
当时，的单调减区间是，增区间是；
(2)
由于，
∴．
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，
而，，
∴在存在唯一的零点，
故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．
当时，；当时，，
∴在的最小值为．
又由，可得，
∴．
由于，
故整数的最大值为2．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.
(1)
解：函数的定义域为，
当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
所以，
所以当时，求的最大值为；
(2)
解：函数，
则，，，
①若，则，所以在上单调递增，
故，不符合题意；
②若，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
则，
令，可得，
解得，
因为，
所以符合题意，
综上所述.
4．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知函数(其中为常数且)在处取得极值．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在上的最大值为1，求的值．
【答案】(1)递增区间为，没有减区间.;
(2)a＝或a＝－2．
【解析】
【分析】
（1）对求导，根据极值点求得，进而由的符号求单调区间.
（2）求的零点，结合极值点有，讨论、<1、研究的区间单调性，结合上最大值1求a值.
(1)
因为，所以
因为在x＝1处取得极值，则，
当时，，故
所以在上单调递增，即递增区间为，没有减区间.
(2)
因为，
令得：，
因为在x＝1处取得极值，所以，
当时，在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减，
所以在上的最大值为，令，解得a＝－2，
当时，x2＝>0，
当<1时，在(0,)上单调递增，(,1)上单调递减，(1,e)上单调递增，
所以最大值1可能在x＝或x＝e处取得，
而，
所以，解得a＝；
当时，在 (0,1)上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在x＝1或x＝e处取得，而，
所以，解得a＝，与1<当x2＝≥e时，在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，
所以最大值1可能在x＝1处取得，而矛盾．
综上，a＝或a＝－2．
考点三　导数在解决实际问题中的应用
1．（2022·四川眉山·高二期末（文））某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】(1)
(2)当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
【分析】（1）根据题意，，解方程即可得答案；
（2）设商场每日销售该商品的利润为，则，，再根据导数研究函数单调性，求最值即可得答案.
(1)解：因为销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克，商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数
所以，解得
所以，，
(2)解：设商场每日销售该商品的利润为，
则，
因为
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
2．（2022·北京西城·高二期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【答案】(1)；
(2)商品的利润最大时生产量为百件.
【分析】（1）利用求出利润函数即可；
（2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.
(1)
由题意，利润.
(2)
由（1），当时，，
所以，令，则或（舍），
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时递减，此时最大值为（万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为百件.
3．（2022·山东青岛·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
【答案】(1)当时，每瓶饮料的利润最大
(2)当时，每瓶饮料的利润最小
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意得到每瓶饮料的利润为，利用导数法求解；
（2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解；
（3）由求解.
(1)
解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
(2)由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
(3)由，
解得，
故所求瓶子的半径取值范围是.
1．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
3．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】
由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
4．（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
5．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
(1)
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
6．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
(1)
的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
(2)
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
一、单选题
1．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，可得，再根据结合基本不等式求解最小值即可
【详解】
，则，即，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：D．
2．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点，用导数法，求出相切时对应的，即可根据图形得出范围
【详解】
，函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点.
如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当时有两个不同交点，
故选：C
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
x -1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
4．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围
【详解】
设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点M（1，t）在切线上，
所以，
化简整理得，
令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，
所以的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，
所以的图象与直线有三个不同的交点，
所以由图象可得，
故选：D
5．函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数与原函数的关系逐个分析的正负，进而得到的正负，结合极值点与零点的定义判断即可
【详解】
对A，是的零点，不一定为的零点，故A错误；
对B，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故两侧，故不是的极大值点，故B错误；
对C，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极小值点，故C错误；
对D，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极大值点，故D正确；
故选：D
6．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围．
【详解】
，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故
在，成立，
当时，不成立；
当时，，
设，，则，
由，得，
所以在，递减，所以，
则在，递减，所以的最小值为（1），
则，所以．
故选：A
7．若函数在上的最小值为，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出定义域，由导函数得到所以在单调递增，从而求出最小值，进而求出a的值
【详解】
定义域为，
在恒成立，
所以在单调递增，
所以，所以
故选：B
8．使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性、最值.
【详解】
由有：；由有：；
在上单调递增，在上单调递减，
在上取得最大值的为，故A，C，D错误，B正确.
故选：B.
二、多选题
9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是.令则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．的最大值为
D．在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可知A正确；由知B正确；利用导数可求得在上的值域，结合奇偶性和周期性可确定最大值，知C错误；求导后可证得，由此可知D正确.
【详解】
对于A，，是奇函数，A正确；
对于B，，是的一个周期，B正确；
对于C，，；
当时，，则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，；
则当时，；
为奇函数，当时，；
又周期为，，即最大值为，C错误；
对于D，，；
当时，，，
，，，，
在上单调递增，D正确.
故选：ABD.
10．已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
令，得到，求得，令，利用导数得到，进而得到，可判定A正确，B不正确；求得，进而可判定C正确；设且，求得，可得，进而可判定D正确.
【详解】
令，则，
因为，可得，
又由，可得，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，所以单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数，可得，
令，即，解得，
所以函数的单调递增区间为，所以C正确；
设，则
注意到时，进而单减
由知时“，即.”
时单减，而，所以D正确.
故选：ACD.
11．设函数，则（ ）
A．若方程恰有三个不同实根，则
B．若方程恰有一个实根，则
C．有极大值，但无最大值
D．有极小值，也有最小值
【答案】CD
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可判断；
【详解】
解：，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得极小值，也为最小值点，故D选项正确，
当时，取得极大值，
当趋近于正穷大时，的函数值也趋近于正无穷大，
无最大值，
有极大值点，无最大值，故C正确，
当趋近于负穷大时，的函数值趋近于正零，
当时，方程恰有三个不同实根，故A错误，
当时，方程只有一个实根，故B错误．
故选：CD．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．不是函数的周期 B．函数在上有个零点
C．函数的图象关于对称 D．函数的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断A选项；利用导数研究函数在上的单调性，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值与极值的关系可求得函数的最大值，可判断D选项.
【详解】
对于A选项，，
，
所以，，故不是函数的周期，A对；
对于B选项，，
则，
当时，，
当时，，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
因为，，，，
所以，函数在区间、内各有一个零点，
所以，函数在上有个零点，B错；
对于C选项，，
所以，，故函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，因为，
所以，函数是函数的周期，
要求出函数的最大值，可考虑函数在区间上的最大值，
由B选项可知，，且，故，D对.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知，，且满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得，令，从而，再根据得，由，再利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，所以，即，
令，则，从而，
令，，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，即（当且仅当时取等号），
所以，即，
又，
当且仅当，取等号.
故答案为：.
14．已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
首先表示出的解析式，令，依题意可得，即可取出、的值，从而得到的解析式，再利用导数求出函数的最大值.
【详解】
解：因为，
所以
，
设，
因为为偶函数，
，
，解得．
因此，
所以，令，解得，，．
当时，；当时，；
当时，； 当，时，．
在区间，上是增函数，在区间，、，上是减函数
又，
的最大值为．
故答案为：
15．已知函数满足下列条件：①函数在上单调递增；②函数的极小值大于极大值.则的一个取值为___________；此时极大值为___________，极小值为___________.
【答案】 9(答案不唯一) 6
【解析】
【分析】
由题可得在上恒成立，进而可得，可取，然后利用导数即得.
【详解】
∵函数，
∴，又函数在上单调递增，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴，
故的一个取值为9，
此时由，可得，
当或时，，当或时，，
∴时，函数有极大值为，
时，函数有极小值为，适合题意.
故答案为：9；；6. (答案不唯一)
16．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
③函数有三个极值点；
④函数有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据图像及导数与函数单调性的关系判断出实的图像是的图像，虚的图像是的图像，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系求解.
【详解】
由图像可知实的图像在区间、、函数值分别为正、负、正，而虚的图像在区间、、分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实的是的图像，虚线是的图像.
所以①错误，②正确；
因为，即，由图可知恰有三个零点，故④正确；
又因为，
由图像可知、、时，，即，
又在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
在区间上，的图像在的图像的上方，即
在区间上，的图像在的图像的下方，即
所以、、分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点
所以③正确
故答案为②③④
四、解答题
17．已知函数．
(1)求证：的极小值为0；
(2)讨论方程实数解的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解函数的单调性，即可判断的极小值；
（2）由题意可知方程等价于或时，构造函数，利用导数求解函数的单调性及最值，分类讨论的取值范围即可.
(1)
解：由题得，
所以当时，，在单调递增；
所以当时，，在单调递减．
所以，的极小值为．
(2)
解：方程等价于或时．
令，则，由，
随x的变化可得，情况变化如下：
2
- + 0 -
极大值
故极大值，
先证明一个结论：当，不等式恒成立.
证明：设，则，
故在上为增函数，故，
故不等式恒成立.
对任意的，则当时，有①.
又当时，方程无实数解；
当时，，，
故在上有一个零点，
而，，，
结合①可得在上有两个零点，故方程有3个实数解；
当时，，，
故在上有一个零点，
而，故在上有一个零点即方程有2个实数解；
当时，同理有在上有一个零点，
而，故在上无零点即方程无实数解；
故方程有1个实数解；
综上：当时，方程有1个实数解；
当时，方程有4个实数解：
当时，方程有3个实数解；
当时，方程有2个实数解；
18．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；
（2）时可得两极值点为，可得，设，求出，令，则由导数可得
是上的增函数，即恒成立， 转化为恒成立，利用单调性可得，设，再分、 讨论利用导数可得答案.
(1)
由得，
当时，的解集为的解集为，
当时，的解集为的解集为，或，所以，当时，是上的增函数，是上的减函数；
当时，是上的增函数，是上的减函数.
(2)
，
当，或时，；当时，，
两极值点为，
，
设，则，
令则，
当时，是上的增函数，
当时，.
是上的增函数.
由条件得恒成立，
恒成立，即恒成立.
，
，
，
设，若，则单调递增；
若，则，单调递减，，
所以，正数的取值范围是.
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义可求出切线方程，
（2）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值
(1)
的定义域为．
因为（），所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
(2)
的定义域为，
令，得，
因为，所以，
令得，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以．
20．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的方程有两个根，求函数的最小值.
【答案】(1)没有零点
(2)
【解析】
【分析】
（1）零点个数与的零点个数相同，利用导数求出的极大值可得答案；
（2）转化为曲线与直线有两个交点，可得，求出，令得，设，利用导数可得.
(1)
由知，零点个数与的零点个数相同，
由于且，所以若，则单调递增；
若，则，单调递减，没有零点，
所以没有零（或零点个数为0）.
(2)
有两个根，曲线与直线有两个交点， ，且，根据，
，
，
令得，，
设，则在上单调递增，
当时，，单调递减；当时，单调递增，
所以，.
21．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？
【答案】(1)；
(2)需新建9个桥墩才能使y最小.
【解析】
【分析】
（1）求出，即得y关于x的函数关系式；
（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.
(1)
解：由，得，
所以
.
(2)
解：由（1）知，，
令，得，所以.
当时，，则在区间内为减函数；
当时，，则在区间内为增函数.
所以在处取得最小值，此时.
故需新建9个桥墩才能使y最小.中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 导数及其应用
专题3：函数的极值与最大（小）值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)< 0，右侧f ′(x)> 0.则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)> 0，右侧f ′(x) <0.则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极 值点，极小值和极大值统称为极值 ．
提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f ′(x0)＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．
(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续 不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一　利用导数求函数的极值
根据函数图象判断极值
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
【答案】C
【分析】根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
【答案】D
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；
故选：D
3．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（ ）
A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点
【答案】C
【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数.
【详解】
由题图知：从左到右依次分为5个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点，
综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点.
所以C正确，A、B、D错误.
故选：C
求已知函数的极值
1．（2022·北京平谷·高二期末）函数在上的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.
【详解】
对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求函数的极大值与极小值．
【答案】，
【分析】先求的值，发现需要讨论的正负，分别判定在的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
【详解】
解：，
令，则或，
当，随着x的变化，与的变化情况如下：
x 0
0 0
极大值 极小值
所以，；
当时，随的变化，与的变化如下表：
x 0
0 0
极小值 极大值
所以，，
综上所述，，.
已知极值（点）求参数
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
2．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（ ）
A．-2 B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】求得的导数，注意分解因式，讨论a＝0， ，a，0＜a，a＜0，由极大值的定义，即可得到所求a的范围．
【详解】
的导数为，
若a＝0则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．
x＝2处取得极大值，满足题意；
若a，则，递增，无极值；
若，则2，在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a，则2，在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则x＜2时，，递增；x＞2，，递减．
x＝2处取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：．
故选：AB
考点二　利用导数求函数的最值
1．（2022·四川雅安·高二期末（理））若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可
【详解】
由在上恒成立，得
在上恒成立，
当时，上式显然成立，
当时，令，，
则，
当时，，所以在上递增，
而当时，，不合题意，
当时，由，得，
令，，作出两函数的图象，如图所示
由图象可知，存在，使，所以，得，
当时，，当时， ，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以
，
由，得，得，
综上，，
2．（2022·辽宁沈阳·高二期末）设函数，，其导函数为．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，为整数，且当，，求的最大值．
【答案】(1)详见解析；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导函数，再按、讨论正负即可得解；
(2)根据给定条件将不等式等价转化并分离参数，构造函数，讨论它的最小值即可得解.
(1)
因为的定义域为R，．
当时，则，在R上单调递增；
当时，则，解得，
当x变化时，，变化如下表：
x
－ 0 ＋
单调减 极小值 单调增
综上，当时，在R上单调递增；
当时，的单调减区间是，增区间是；
(2)
由于，
∴．
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，
而，，
∴在存在唯一的零点，
故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．
当时，；当时，，
∴在的最小值为．
又由，可得，
∴．
由于，
故整数的最大值为2．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；
（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.
(1)
解：函数的定义域为，
当时，，
则，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
所以，
所以当时，求的最大值为；
(2)
解：函数，
则，，，
①若，则，所以在上单调递增，
故，不符合题意；
②若，
当时，，当时，，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，
则，
令，可得，
解得，
因为，
所以符合题意，
综上所述.
4．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知函数(其中为常数且)在处取得极值．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在上的最大值为1，求的值．
【答案】(1)递增区间为，没有减区间.;
(2)a＝或a＝－2．
【解析】
【分析】
（1）对求导，根据极值点求得，进而由的符号求单调区间.
（2）求的零点，结合极值点有，讨论、<1、研究的区间单调性，结合上最大值1求a值.
(1)
因为，所以
因为在x＝1处取得极值，则，
当时，，故
所以在上单调递增，即递增区间为，没有减区间.
(2)
因为，
令得：，
因为在x＝1处取得极值，所以，
当时，在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减，
所以在上的最大值为，令，解得a＝－2，
当时，x2＝>0，
当<1时，在(0,)上单调递增，(,1)上单调递减，(1,e)上单调递增，
所以最大值1可能在x＝或x＝e处取得，
而，
所以，解得a＝；
当时，在 (0,1)上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在x＝1或x＝e处取得，而，
所以，解得a＝，与1<当x2＝≥e时，在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，
所以最大值1可能在x＝1处取得，而矛盾．
综上，a＝或a＝－2．
考点三　导数在解决实际问题中的应用
1．（2022·四川眉山·高二期末（文））某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】(1)
(2)当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
【分析】（1）根据题意，，解方程即可得答案；
（2）设商场每日销售该商品的利润为，则，，再根据导数研究函数单调性，求最值即可得答案.
(1)解：因为销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克，商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数
所以，解得
所以，，
(2)解：设商场每日销售该商品的利润为，
则，
因为
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润
2．（2022·北京西城·高二期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【答案】(1)；
(2)商品的利润最大时生产量为百件.
【分析】（1）利用求出利润函数即可；
（2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.
(1)
由题意，利润.
(2)
由（1），当时，，
所以，令，则或（舍），
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时递减，此时最大值为（万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为百件.
3．（2022·山东青岛·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
【答案】(1)当时，每瓶饮料的利润最大
(2)当时，每瓶饮料的利润最小
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意得到每瓶饮料的利润为，利用导数法求解；
（2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解；
（3）由求解.
(1)
解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
(2)由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
(3)由，
解得，
故所求瓶子的半径取值范围是.
1．（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
4．（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
5．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
一、单选题
1．已知函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．9
2．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
4．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
6．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上的最小值为，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是.令则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是周期函数
C．的最大值为
D．在上单调递增
10．已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
11．设函数，则（ ）
A．若方程恰有三个不同实根，则
B．若方程恰有一个实根，则
C．有极大值，但无最大值
D．有极小值，也有最小值
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．不是函数的周期 B．函数在上有个零点
C．函数的图象关于对称 D．函数的最大值为
三、填空题
13．已知，，且满足，则的最小值为______.
14．已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．
15．已知函数满足下列条件：①函数在上单调递增；②函数的极小值大于极大值.则的一个取值为___________；此时极大值为___________，极小值为___________.
16．已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数；
③函数有三个极值点；
④函数有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
四、解答题
17．已知函数．
(1)求证：的极小值为0；
(2)讨论方程实数解的个数．
18．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值．
20．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若关于的方程有两个根，求函数的最小值.
21．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？

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