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专题01 集合的概念与运算
【考纲要求】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的概念和表示
【思维导图】
【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
3、常用数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】
【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B(或 B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为： .
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若AB且BC，则AC.
③若AB且A≠B，则AB.
三、集合的基本运算
【思维导图】
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若AB且BC，则AC.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【题型汇编】
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合间的基本关系
题型三：集合的基运算
【考点解析】
题型一：集合的含义与表示
例1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
例2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
答案：0或
例3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
例4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　
题型二：集合间的基本关系
例1、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B A　　　　　　　 B．A＝B
C．AB D．BA
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，比较A，B中的元素可知A?B，故选C.
(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B A，
所以①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]
(1)判断两集合关系的方法
①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；
②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
(2)根据两集合间的关系求参数的方法
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
[提醒]　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
题型三：集合的基运算
例1、(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.
【答案】　(1)C　(2)4　(3)[－3，4]
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　
【对点训练】
题型一：集合的含义与表示
1．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合交集的概念及集合的描述求且中n的个数即可.
【详解】
由且可得：，即，
所以中的元素有6个.
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先用列举法表示集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为，又，
所以；
故选：D
5．（2022·全国·一模（理））已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合B的形式，逐个验证的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】
时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
6．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式求出集合A，再求出集合B，然后求两集合的交集即可
【详解】
解不等式，得，又，所以，
所以，所以．
故选：C
7．（2022·天津·耀华中学一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交运算即可求解.
【详解】
，所以
故选：A
8．（2022·山东潍坊·三模）已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别分析每个选项，举出反例以否定错误选项.
【详解】
对于选项A，当集合时，，故此选项错误；
对于选项B，当集合时，，故此选项错误；
对于选项C，当集合时，，故此选项错误；
对于选项D，因为，，且，所以，故此选项正确.
故选：D.
9．（2022·河北秦皇岛·三模）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
10．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
二、多选题
1．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断.
【详解】
A. ，故正确；
B.集合的真子集个数是3，故错误；
C.不等式的解集是，故正确；
D. 的解集是或，
故选：AC
2．（2021·全国·模拟预测）设集合，若，，，则运算可能是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】AC
【解析】
【分析】
先由题意设出，，然后分别计算，，，，即可得解.
【详解】
由题意可设，，其中，，，，
则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；
，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
3．（2020·江苏省宜兴中学模拟预测）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】
选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当时，设，
则，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】
依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以
所以，，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
5．（2022·全国·高一开学考试）已知集合，，若，则实数a的值可能是（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可求出的范围，进而可求得答案
【详解】
因为，所以，，则，解得.
故选：ABC
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知集合A=，集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由已知可求得，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
A=，,.
,A正确，，B错误，,C正确，，D正确.
故选：ACD
7．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）下列说法中正确的为（ ）
A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为
B．若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．若正实数，，满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据各选项中的命题的条件逐一分析、推理并判断作答.
【详解】
对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素，于是有或，A不正确；
对于B，因一元二次不等式的解集为，则，解得，B正确；
对于C，当时，，当时，或，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，因正实数满足，则，
当且仅当，即时取“=”，D正确.
故选：BCD
题型二：集合间的基本关系
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可得，由此可得出结论.
【详解】
任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的元素，再求非空子集即可.
【详解】
因为，又，
所以，所以的元素个数为，其非空子集有个.
故选：C．
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知，，则集合M、N之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.
【详解】
由，
由等价于，可得，
所以.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测（文））设，已知两个非空集合，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦恩图，结合集合的交集和并集运算即可求解.
【详解】
根据题意，作出如下图韦恩图：
满足，即.
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由p、q分别定义集合和，用集合法求解.
【详解】
由选项可判断出m≥0.
由q：“”可得：.
由p：“”可得：.
因为p是q的必要不充分条件，所以A.
若m=0时，，A不满足，舍去；
若m>0时，.
要使A，只需m>1.
综上所述：实数m的取值范围是.
故选：D
7．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，利用集合的非空子集个数公式可求得结果.
【详解】
，
即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.
【详解】
A错误，B错误，C正确，D错误.
故选：C
9．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合，进而得到结果.
【详解】
，，
，，.
故选：B.
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合B，再根据子集的定义即可求解.
【详解】
依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
11．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，列出参数的不等关系式，即可求得参数的取值范围.
【详解】
∵集合，且，∴.
故选：C．
二、多选题
1．（2021·河北衡水中学三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】
由己知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
2．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】
令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.
故选：CD.
3．（2021·湖南·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
4．（2021·广东湛江·二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】
，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
题型三：集合的基运算
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，，所以．
故选：A.
3．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】
，
故选：D.
4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
5．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：D
6．（2022·全国·高考真题（文））集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，，所以．
故选：A.
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
8．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合A、B，再去求即可
【详解】
，
，
则.
故选：A.
9．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.
【详解】
由题意知，，所以．
故选:B．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过Venn图进行直观思考，避免繁琐的集合运算，通过图解即可得到答案．
【详解】
根据下面的Venn图：
I区表示；
Ⅱ区表示；
Ⅲ区表示；
Ⅳ区表示．
由题，集合对应于I区，Ⅱ区，Ⅳ区的并集，
所以Ⅲ区对应，从而Q对应Ⅱ区，Ⅲ区的并集，故．
故选：B
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，即可得出结论.
【详解】
在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或 .
故选：AD.
2．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若，，为任意向量，则
C．若，，为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据集合运算有结合律，可判断A；根据向量的数量积不满足结合律可判断B；根据复数的乘法运算满足结合律可判断C；根据可判断D.
【详解】
对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有，故A正确；
对于B，向量的数量积不满足结合律，即 故B错误；，
对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数，，，有，故C正确；
对于D，若，，故D错误.
故选：AC.
3．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称为“和谐解集”．若关于的不等式在上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据定义解不等式，然后验证哪些选项符合要求.
【详解】
本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养．
不等式可化为．
由函数的图像，可知只有一个整数解，这唯一整数解只能是，因为点是图像上的点，所以．因为，，，.
故选：CD.
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】
如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
5．（2022·湖北武汉·二模）已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据并集的结果可得，即可得到的取值；
【详解】
解：因为，所以，所以或；
故选：AB
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专题01 集合的概念与运算
【考纲要求】
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
一、集合的概念和表示
【思维导图】
【考点总结】
一、集合的含义
1、元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
3、常用数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
二、集合的表示
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
二、集合间的基本关系
【思维导图】
【考点总结】
一、子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B(或 B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为： .
规定：空集是任何集合的子集．
二、集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若AB且BC，则AC.
③若AB且A≠B，则AB.
三、集合的基本运算
【思维导图】
【考点总结】
一、并集、交集
1、并集
(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
2、交集
(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
二、补集及综合应用
补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U且x A}
图形语言
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
2．集合基本关系的四个结论
(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
(2)任何一个集合是它本身的子集，即A A.空集只有一个子集，即它本身．
(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若若AB且BC，则AC.
(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
【题型汇编】
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合间的基本关系
题型三：集合的基运算
【考点解析】
题型一：集合的含义与表示
例1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个　　　　　　　 B．4个
C．3个 D．无数个
例2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
例3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
例4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
题型二：集合间的基本关系
例1、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B A　　　　　　　 B．A＝B
C．AB D．BA
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
题型三：集合的基运算
例1、(1)(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【对点训练】
题型一：集合的含义与表示
1．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·一模（理））已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·天津·耀华中学一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东潍坊·三模）已知集合，，若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北秦皇岛·三模）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
1．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
2．（2021·全国·模拟预测）设集合，若，，，则运算可能是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
3．（2020·江苏省宜兴中学模拟预测）给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
4．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一开学考试）已知集合，，若，则实数a的值可能是（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
6．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知集合A=，集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试）下列说法中正确的为（ ）
A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为
B．若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D．若正实数，，满足，则
题型二：集合间的基本关系
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．15 B．14 C．7 D．6
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知，，则集合M、N之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））设，已知两个非空集合，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
11．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2021·河北衡水中学三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
2．（2021·重庆·三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·湖南·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
4．（2021·广东湛江·二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
题型三：集合的基运算
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题（文））集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若A，B，C为任意集合，则
B．若，，为任意向量，则
C．若，，为任意复数，则
D．若A，B，C为任意事件，则
3．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称为“和谐解集”．若关于的不等式在上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖北武汉·二模）已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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