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专题04 一元二次不等式与其他不等式
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【思维导图】
【考点总结】
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
二、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
三、一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
五、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
六、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【题型汇编】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：分式不等式的解法
【题型讲解】
题型一：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南海口·二模）已知x，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·天津·耀华中学二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东广州·三模）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·天津南开·一模）设，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·江西南昌·二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·湖北十堰·三模）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·天津·一模）已知集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·四川遂宁·三模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·安徽·合肥市第七中学二模（理））集合，集合，则（ ）
A．（-2，2） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-1，3）
二、多选题
1．（2022·山东济南·一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为， B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围是
2．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
一、单选题
1．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津河东·一模）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，恒成立
C．使得成立
D．对任意，，均有恒成立
三、填空题
1．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
2．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.
3．（2022·江苏江苏·二模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
四、解答题
1．（2022·上海奉贤·二模）对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．
(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；
(2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；
(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．
2．（2022·江西上饶·二模（理））已知．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．
题型三：分式不等式的解法
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模（理））设集合， ，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·太原五中二模（文））下列命题中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．已知与为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件
C．“”是“不等式成立”的必要不充分条件
D．已知，，则M是N的充分不必要条件
4．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·一模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南·三模（理））若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新疆喀什·一模（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·江西南昌·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
3．（2021·重庆·模拟预测）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）当时，成立，则实数a的取值范围是____________．
2．（2022·天津·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为___________.
3．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
4．（2022·上海杨浦·二模）已知，，则________.
5．（2022·上海徐汇·二模）不等式的解集为______.
四、解答题
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，求证：.
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专题04 一元二次不等式与其他不等式
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【思维导图】
【考点总结】
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
二、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
三、一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
五、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
六、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【题型汇编】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：分式不等式的解法
【题型讲解】
题型一：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合，再由交集的定义求解即可
【详解】
∵
∴，
故选：A.
2．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合A，根据交集运算求解.
【详解】
，，
，
故选：B
3．（2022·海南海口·二模）已知x，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
4．（2022·天津·耀华中学二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得集合再求交集即可
【详解】
由题，，故
故选：D
5．（2022·山东烟台·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以；
故选：B
6．（2022·广东广州·三模）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先由和解出的范围，再由充分必要的定义判断即可.
【详解】
由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·天津·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
解：由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解出一元二次不等式，根据交集的运算法则求解即可.
【详解】
由题，解，可得，则可得，
故选：B
9．（2022·天津南开·一模）设，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由，解得或，利用充分、必要条件的定义即可判断出．
【详解】
由，解得或，
由“”可推出“”，而由“”推不出“”，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
10．（2022·江西南昌·二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集，易错点在于集合A元素是自然数，集合B的元素是实数．
【详解】
∵，，∴．
故选：．
11．（2022·湖北十堰·三模）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的补集运算求解.
【详解】
因为，
所以.
故选：C
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，结合解一元二次不等式的方法、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】
因为，，
所以，
故选：D
13．（2022·天津·一模）已知集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合，再求
【详解】
，所以
所以
故选：B
14．（2022·四川遂宁·三模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
解：,
,
故选：C.
15．（2022·安徽·合肥市第七中学二模（理））集合，集合，则（ ）
A．（-2，2） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-1，3）
【答案】B
【解析】
【分析】
先求集合，进一步求出答案.
【详解】
集合，，
∴.
故选：B.
二、多选题
1．（2022·山东济南·一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为， B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2 D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出曲线C的方程，由判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断C；求出的范围计算判断D作答.
【详解】
设点，依题意，，整理得：，
对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；
对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；
对于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正确.
故选：ABD
【点睛】
结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；
(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.
2．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】
的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
一、单选题
1．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为，所以函数图象如下所示：
由函数图象可知函数为定义域上单调递减的奇函数，当时，则，当时，则，所以，因为，恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当，显然不成立，当时，则，解得，即；
故选：C
2．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
当时，由恒成立，二次函数的对称轴为，
（1）当时，在上单调递减，则恒成立，
（2）当时，，所以
综上可知，当时，在上恒成立；
当时，恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，函数单增，又，所以；
综上可知，的取值范围是，
故选：D
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，“，使得”是真命题，进而根据二次不等式恒成立求解即可.
【详解】
解：因为“，使得”是假命题，
所以“，使得”是真命题，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．（2022·天津河东·一模）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
5．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出，利用得到在区间上有解，结合端点值的符号得到，求出的最小值.
【详解】
易知，设，则，
所以，
即，
即方程在区间上有解，
令，
因为，，
所以只需，
即
解得：.
故选：C.
6．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分与两种情况进行讨论，求解出答案.
【详解】
当时，不等式为恒成立，故满足要求；
当时，要满足：
，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】
解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
9．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“”是“使成立”为假命题的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
“使成立” 为假命题，则“使成立”为真命题，对a分情况讨论，求得，结合充分、必要条件判定方法，即可得解.
【详解】
解：“使成立”为假命题，则“使成立”为真命题，当时成立，当，则，，∴，综合得，则“”是的充分不必要条件.
故选：B.
10．（2022·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断
【详解】
在上恒成立，
即在上恒成立，
故
“”是“”的必要不充分条件
故选：B
二、多选题
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】
因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
2．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，恒成立
C．使得成立
D．对任意，，均有恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】
二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
依题意，二次函数的对称轴为.
因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于A选项，当时，，关于直线对称，
所以恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，当，若，则不等式可化为，
所以；
若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误；
对于C选项，因为，所以，
所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误；
对于D选项，，
所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确，
故选：AD.
三、填空题
1．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得到，恒成立，进而得到，即，再代入，令，利用基本不等式求解.
【详解】
解：因为函数的定义域为R，
所以，恒成立，
所以，即，
所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是，
故答案为：
3．（2022·江苏江苏·二模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.
【详解】
因为，故的图象关于中心对称
当时，，
故的图象如图所示：
结合图象可得：只需当时，即可，
即，故，
故答案为：.
四、解答题
1．（2022·上海奉贤·二模）对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．
(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；
(2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；
(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)具有性质，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；
（2）根据已知条件有对任意恒成立，讨论、判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质.
(1)
，，
所以，则，故，不具有性质；
，
恒成立，故,具有性质.
(2)
由，则，
对任意恒成立，
显然时，上式不等式成立；
时，则，对任意不恒成立，舍去；
综上，.
(3)
因为具有性质，所以，
因为函数的值域为，所以，
则，，
，
，
，
所以，即具有性质.
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、、，进而有，结合对数函数的单调性判断结论.
2．（2022·江西上饶·二模（理））已知．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对绝对值进行分类讨论，即可求解
（2）根据基本不等式，可得，进而问题转化为，进而求出所求的范围
(1)
可得，
当时，不等式等价于，解得，，
当时，不等式等价于，此时不等式恒成立，，
当时，不等式等价于，解得，，
综上所述，不等式的解集是
(2)
，，
，当且仅当时成立，
所以，对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，
等价于，设，由（1）得，，明显可见，，，所以，，当时，有最小值，，
所以，此时实数的取值范围为，综上所述，实数的取值范围
题型三：分式不等式的解法
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模（理））设集合， ，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合交补集定义运算即可．
【详解】
由，或
所以或
故选：C
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
，，因此，.
故选：D.
3．（2022·山西·太原五中二模（文））下列命题中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．已知与为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的充要条件
C．“”是“不等式成立”的必要不充分条件
D．已知，，则M是N的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题判断A选项；利用平面向量的数量积和充分必要条件的定义判断B选项；解不等式，再利用充分必要条件的定义判断C选项；利用充分必要条件的定义直接判断D选项.
【详解】
对于A，命题“，”为特称命题，又特称命题的否定是全称命题，可知其否定为：“，”，故A错误；
对于B，由向量数量积定义可知，若，则与的夹角为锐角或零角；若与的夹角为锐角，则一定有，故“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，不等式，解不等式得：或，故“”是“不等式成立”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：D
【点睛】
易错点睛：本题考查含一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，两个向量数量积的定义，解不等式，在判断B选项时，要注意当两个向量的数量积大于0时，这两个向量也可以同向共线，此时两个向量的夹角为零角，考查学生的逻辑推理能力与转化能力，综合性强，属于一般题.
4．（2022·河南河南·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式 分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.
【详解】
由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
5．（2022·辽宁·一模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
排除法可得.
【详解】
取，易知，所以，故排除ABD.
故选：C
6．（2022·河南·三模（理））若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合A，B，根据集合的交集和补集运算得出答案.
【详解】
由，则解得：.
，，
=或，.
故选：A.
7．（2022·新疆喀什·一模（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解分式不等式，求得集合A，再根据集合的交集运算，求得答案。
【详解】
解不等式，则 或 ，
故或 ，
故，
故选：A
8．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，根据充分必要性分别判断.
【详解】
解不等式可得，，
又，反之不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
9．（2022·江西南昌·三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，求出集合A和B，进而求出交集.
【详解】
，解得：，所以，，解得：或，故，故
故选：C
10．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数型函数定义域解法求出集合M，根据分式不等式解法求出集合N，再根据集合交集概念即可求得结果.
【详解】
由题意知，，
所以．
故选：C．
二、多选题
1．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】
的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
2．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断.
【详解】
A. ，故正确；
B.集合的真子集个数是3，故错误；
C.不等式的解集是，故正确；
D. 的解集是或，
故选：AC
3．（2021·重庆·模拟预测）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】
由题意得，，
所以，
故AB正确，CD错误，
故选：AB.
三、填空题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）当时，成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得或，当时，成立，即可求出a的取值范围.
【详解】
或，则当时，成立，所以.
故答案为：.
2．（2022·天津·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为___________.
【答案】25
【解析】
【分析】
由题干条件得到且，对变形得到，利用基本不等式求解最小值.
【详解】
由得：，因为，，所以，
其中
，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为25.
故答案为：25
3．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式”,给出如下一种解法:
解析:由的解集,得
的解集为,即
关于的不等式的解集为.
参考上述解法,若关于的不等式的解集为
关于的不等式的解集为____.
【答案】.
【解析】
【分析】
关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得不等式的解集.
【详解】
若关于的不等式的解集为
则关于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，
则，则.
故解集为：.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．
4．（2022·上海杨浦·二模）已知，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出与中不等式的解集分别确定出与，找出两集合的交集即可．
【详解】
集合中不等式，当时，解得：，此时，
当时，解得：，无解，
，
集合中不等式变形得：，即，
解得：，即，
则.
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2022·上海徐汇·二模）不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】
因为，∴，∴，∴解集为.
故答案为：．
四、解答题
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知.
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先换元后再解不等式
（2）由条件得到关系，再通过基本不等式证明
(1)
令，，易知，可解得
解集为
(2)
，则，，又
故，由基本不等式得：，即证
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