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《空间向量》专题13-1 点面距离等
（5套，5页，含答案）
知识点：
点面距离： 利用法向量求点到面的距离定理： 如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，
其中，则点B到平面的距离为.
典型例题：
在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　[endnoteRef:0]　)
A.a　　　 B.a C.a D.a [0: 答案：A；
解析：　以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，
则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，D(0,0,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量，
则n·＝0，且n·＝0，
而＝，＝.
所以
所以
令z＝2，则n＝(－1,1,2)，＝(a,0，a)，
则A1到平面BDM的距离是d＝＝a.]
如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4.求点B到平面PCD的距离．[endnoteRef:1]
[1: 答案：；
解析：　如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,2)，
＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(4,0,0)，
设面PCD的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则
所以面PCD的一个单位法向量为＝，
所以＝＝，
则点B到平面PCD的距离为.
]
随堂练习：
长方体ABCD-A1B1C1D1中，，AB=2，E为AB的中点，则到平面 的距离 [endnoteRef:2] [2: 答案：；]
如图：已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点.
(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.（[endnoteRef:3]）
[3: 答案：；]
《空间向量》专题13-2 点面距离等
已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．[endnoteRef:4] [4: 答案：a；
解析：　如图建立空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，E，F，G，
∴＝，＝，＝，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
则，∴，
∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，∴d＝＝＝a.
即点A到平面EFG的距离为a.
]
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为？（[endnoteRef:5]）
[5: 答案：；
解析：　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，
设＝λ，λ∈(0,1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，
则 ，
取x＝1，则y＝，z＝2，即n＝.
由于d＝＝，∴＝
又λ∈(0,1)，解得λ＝.
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.
]
如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到BD的距离为___[endnoteRef:6]_____．
[6: 答案：；
解析：　作AE⊥BD于E，连结PE，∵PA⊥面ABCD.
∴PA⊥BD
∴BD⊥面PAE
BD⊥PE，即PE的长为点P到BD的距离
在Rt△PAE中，AE＝，PE＝＝.]
《空间向量》专题13-3 点面距离等
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　[endnoteRef:7]　) A. B. C. D.
[7: 答案：B；
解析：　取B1C1的中点E，连结OE，则OE∥C1D1.
∴OE∥面ABC1D1，
∴O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离．
过E作EF⊥BC1，易证EF⊥面ABC1D1
EF＝，∴点O到平面ABC1D1的距离为，故选B.]
如图,在四棱锥中,,平面,且,,求点到平面的距离.（[endnoteRef:8]）
[8: 答案：；
解：取的方向分别为的正方向，建立空间直角坐标系，则，，.,
设平面的法向量为，.
所以可令，点到平面的距离=.]
在正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离．[endnoteRef:9] [9: 答案：；
解析：　
如图所示，以A点为坐标原点，
以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，
所以A1C的方向向量为＝(1,1，－1)，C1与直线A1C上一点C(1,1,0)的向量＝(0,0,1)
所以在上的投影为：·＝－.
所以点C1到直线A1C的距离d＝
＝＝.
]
《空间向量》专题13-4 点面距离等
如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。（[endnoteRef:10]）
[10: 答案：；]
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点。
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离。（[endnoteRef:11]）
[11: 答案：；
解：（1）建立如图直角坐标系，见例2，证略。
（2）设平面BDE的方程是mx+ny+pz+q=0，把D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1)代入得，m=p=-n，p=0，
∴平面BDE方程为x-y+z=0 。故点D1（0,0,2）到面BDE的距离为： ]
直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是[endnoteRef:12]______． [12: 答案：3；
解析：　
以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以＝(－4,3,0)，＝，
所以在AB上的投影长为＝，
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3.]
长方体中则与间的距离为( [endnoteRef:13])
(A)1 (B) (C) (D) 2 [13: 答案：C；]
《空间向量》专题13-5 点面距离等
如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长；
(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.[endnoteRef:14]
[14: 答案：；
(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD.
而AD=BD=1，∴. ………………………5分
(Ⅱ)∵AD=BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
记，则，，
，，，.
令平面BCD的一个法向量为.
由得.令，得.
又∵，∴点E到平面BCD的距离.
∵，∴当时，取得最大值，.………………………12分
]
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.
(1)求证：CD＝C1D；
(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
(3)求点C到平面B1DP的距离．[endnoteRef:15]
[15: 答案：，；
解析：　如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)．
(1)证明：设C1D＝x，∵AC∥PC1，
∴＝＝.
由此可得D(0,1，x)，P.
∴＝(1,0,1)，＝(0,1，x)，＝.
设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，
令c＝－1，得n1＝(1，x，－1)．
∵PB1∥平面BDA1，∴n1·＝1×(－1)＋x·＋(－1)×0＝0.
由此可得x＝.故CD＝C1D.
(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝.
又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，
∴cos〈n1·n2〉＝＝＝.
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.
(3)∵＝(1，－2,0)，＝，
设平面B1DP的一个法向量为n3＝(a1，b1，c1)．
令c1＝1，可得n3＝.
又＝，
∴C到平面B1DP的距离d＝＝.
]
已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 [endnoteRef:16] 。 [16: 答案：；
设
则，而另可设
，
]

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