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《空间向量》专题8-1 线面角（中下）
（7套，8页，含答案）
知识点：
线面角： 直线和平面所成的角有三种：
（1）斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00. 线面角取值范围：00≤θ≤900． 线面角（空间向量法）： 先标注所有坐标点；
注意：x、y、z轴要两两互相垂直；不容易标注坐标点的，可以先画出俯视图，标注XY轴的坐标，然后再在立体图上标注Z坐标； 画图帮助自己理解线面角；
图中为两向量夹角，为要求的线面角，； 设法向量； 找出平面内的两相交直线的向量，； 令，算出以及； 算出直线AB向量以及； 代入夹角公式：； 角度转换：
典型例题：
若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为(　[endnoteRef:0]　) A. B. C．－ D. [0: 答案：B；
解析：　cos〈a，n〉＝＝＝＝.
]
正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是____[endnoteRef:1]____． [1: 答案：；
解析：　如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
取正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，
易证是平面A1BD的一个法向量．
＝(－1，1，1)，＝(－1，0，1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.]
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)（[endnoteRef:2]） [2: 答案：证明略，；
解析：　以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设PA＝a，由已知可得：
A(0，0，0)，B(0，a，0)，
C，P(0，0，a)．
(1)证明：＝(0，0，a)，
＝，
∴·＝0，
∴BC⊥AP.
又∵∠BCA＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴D，E，
∴由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠DAE＝＝，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．
]
随堂练习：
如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C与平面AB1D1所成的角的余弦值是（ [endnoteRef:3] ）
(A)0 (B) (C) (D) [3: 答案：B；]
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为__[endnoteRef:4]____．
[4: 答案：，；]
《空间向量》专题8-2 线面角（中下）
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；([endnoteRef:5])
[5: 答案：；
解析：　设正方体的棱长为1，如图所示，
以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，
所以＝，＝(0，1，0)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，
所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)依题意，得A1(0，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，)，
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，
得，所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2，1，2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)．
又B1(1，0，1)，所以＝(t－1，1，0)，面B1F 平面A1BE，
于是B1F∥平面A1BE ·n＝0 (t－1，1，0)·(2，1，2)＝0 2(t－1)＋1＝0 t＝ F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F使B1F∥平面A1BE.]
如图，四棱锥中，AB//CD ，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的正弦值.（[endnoteRef:6]）
[6: 答案：；
解：方法一：空间向量法
（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，
设，则 ，
且， ， ，
由，得 ，
解得： ，
由，得 ①
由，得 ②
解①②，得 ，
， ， ， ，
， ，
，
平面 …………………6分
（Ⅱ）设平面的法向量，
则，， ，
又 ，，
，取 ，得，
， ，
故与平面 所成的交的正弦值为.
方法二：综合法
（Ⅰ） 解：如下图，取的中点，连结，，则四边形为矩形，
，
侧面为等边三角形，，
，且，
又 ，
， ，
，
平面.
（Ⅱ）过点作于，
因为，，所以平面平面
所以平面平面，
由平面与平面垂直的性质，知平面，
在中，由，得，所以.
过点作平面于，连结，则为与平面所成角的角，
因为 ，平面，
所以平面，所以，
在中，由，求得.
在中， ，所以 ，
由，得 ，
即，解得，
所以，故与平面所成角的正弦值为.]
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD；
⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[endnoteRef:7]
[7: 答案：（1）略；（2）；
解答：
（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面.
（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，
∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值.
]
《空间向量》专题8-3 线面角（中下）
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．
(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)[endnoteRef:8]
[8: 答案：；
解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，2)．
(1)＝(－1，0，2)，易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设与n的夹角为θ，则cos θ＝＝，∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.
(2)＝(－1，0，2)，＝(0，2，2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m·＝0，m·＝0，
可得m＝(2，－1，1)，∴cos〈m，n〉＝＝，∴二面角F－DE－C的余弦值为.
]
如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．（[endnoteRef:9]）
[9: 答案：证明略，，存在；
解析：　以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设PA＝a，由已知可得：
A(0，0，0)，B(0，a，0)，
C，P(0，0，a)．
(1)证明：＝(0，0，a)，
＝，
∴·＝0，
∴BC⊥AP.
又∵∠BCA＝90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴D，E，
∴由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠DAE＝＝，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．
]
如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为矩形，面ABFE为直角梯形，AB//EF，∠AEF为直角，
二面角D－AB－E为直二面角，AB＝2AD＝2AE＝2EF＝4．
（1）证明：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求直线DE与面ACF所成角的正弦值．[endnoteRef:10]
[10: 答案：；
【命题意图】本题考查空间线面关系的证明和线面角的计
算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题．
解：（1）∵二面角为直二面角且为矩形，
∴面，∴．
又在直角梯形中易证，
∴面，
∵面，∴面面． …………………………………………5分
（2）由（1）易知，，两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示． …………………………………………6分
则，，，，，
，，．…………8分
设面的法向量为，
由得，
令得． ………………………10分
设直线与面所成角大小为，
则． …………………………………12分
]
《空间向量》专题8-4 线面角（中下）
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．（[endnoteRef:11]）
[11: 答案：；]
已知空间四个点A(1，1，1)，B(－4，0，2)，C(－3，－1，0)，D(－1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(　[endnoteRef:12]　) A．60° B．45° C．30° D．90° [12: 答案：C；
解析：　设n＝(x，y，1)是平面ABC的一个法向量．
∵＝(－5，－1，1)，＝(－4，－2，－1)，
∴∴∴n＝.
又＝(－2，－1，3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.故选C.]
如图：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°.
（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；
（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.[endnoteRef:13]
[13: 答案：证明略，；
（1）证明：因为，，，平面，且，
所以平面.又平面，故平面平面.
（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.
所以四边形为等腰梯形.又，所以，易得，令，
如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由所以取，则，，得，.
设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.
]
《空间向量》专题8-5 线面角（中下）
正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成角的大小为( [endnoteRef:14] )
(A) (B) (C) (D)
[14: 答案：A；
]
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，.侧棱AC＝BC＝，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G.求与平面ABD所成角的正弦值；（[endnoteRef:15]）
[15: 答案：；
解： (1)建立如图坐标系，设，则，，，，
，，则＝，
，，则＝，，取平面法向量为，则与夹角为与平面所成角的余角.所以cos， 所以与平面所成角的正弦值为.]
如图，四边形与均为菱形，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．[endnoteRef:16]
[16: 答案：证明略，；
解析：（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，且为中点，
∵，∴，
又，∴平面.…………………5分
（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，∴平面.
∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，………7分
设，∵四边形为菱形， ，∴.
∵为等边三角形，∴.
∴，
∴.
设平面的法向量为，则，
取，得.设直线与平面所成角为，………10分
则. …………………12分
注：用等体积法求线面角也可酌情给分
]
《空间向量》专题8-6 线面角（中下）
如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.
（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.[endnoteRef:17]
[17: 答案：证明略，；
解：（1）过作于点，连，则.
易证：，于是.
由，知，
∴.
显然面，而面，
∴，又，
∴面，∴.
连，则.
又，，
∴面，
∴.
由，，，
∴面.
（2）在上取一点，使，连接.
易知.
∴
.
对于，，，
而，
由余弦定理可知.
∴的面积.
由等体积法可知到平面之距离满足
，则，∴，
又，设与平面所成角为，
∴.
]
在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是____[endnoteRef:18]__． [18: 答案：；
； ]
如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，，OB＝BC＝1，OD＝3OA，现将梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P－OBCD，使得，点E是线段PB上一动点.
（1）证明：和不可能垂直；
（2）当时，求与平面所成角的正弦值.（[endnoteRef:19]）
[19: 答案：；
解：如图甲所示，因为是梯形的高，，
所以…………………………………………………………………………………1分
因为，，可得，……………………………………2分
如图乙所示，，，，
所以有，所以………………………………………………3分
而，，所以平面……………………………………4分
又，所以、、两两垂直．
故以为原点，建立空间直角坐标系（如图），
则，，………………………5分
（1）设其中，所以 ，，
假设和垂直，则，有，解得，
这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直…………………………6分
（2）因为，所以 …………………………………………………7分
设平面的一个法向量是，
因为，，所以，，
即………………………………………………………………………9分
取………………………………………………………………………………10分
而，所以
所以与平面所成角的正弦值为……………………………………………12分]
《空间向量》专题8-7 线面角（中下）
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1E＝D1C1，试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值. （[endnoteRef:20]） [20: 答案：；]
如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）当点为线段的靠近点的三等分点时，求与平面所成角的正弦值.[endnoteRef:21]
[21: 答案：证明略，；
证明：
，翻折后垂直关系没变，仍有，
…………4分
(2) ，二面角的平面角，
，又，由余弦定理得，
，，两两垂直。
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系。
则
……8分
设平面的法向量
由可得
故PC与平面PEF所成的角的正弦值为 …………12分
]
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，PA＝2，
E是PC上的一点，PE＝2EC.
（1）证明：平面；
（2）设二面角为，求直线PD与平面PBC所成角的大小.
（[endnoteRef:22]）
[22: 答案：证明略，；
]

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