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4.1.1　n次方根与分数指数幂
学习目标　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．
导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．
一、n次方根
问题1　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示　如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．
问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．
知识梳理
1．n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a＝0 a<0
x＝ x＝± x＝0 不存在
3.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
注意点：
(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠.
(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序．
例1　(1)化简下列各式：
①＋()5；
②＋()6；
③.
解　①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
③原式＝|x＋2|＝
(2)已知－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
延伸探究　在本例(2)中，若将“－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
跟踪训练1　化简下列各式：
(1)；
(2)＋；
(3)(a≤1)；
(4)＋；
解　(1)＝－2.
(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
(3)∵a≤1，
∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(4)＋＝a＋|1－a|＝
二、分数指数幂
问题3　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示　＝，＝＝，＝，＝＝.
知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
②r＝(a>0，b>0，r∈Q)．
注意点：
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
例2　(1)化简的结果是(　　)
A. B. C．3 D．5
(2)(a>0)的分数指数幂表示为(　　)
A． B． C． D．都不对
(3)化简·(a>0)的结果是(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)A　(2)A　(3)B
解析　(1)原式＝＝－1＝.
(2)原式＝.
(3)原式＝＝.
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
跟踪训练2　(1)求值：＝________.
(2)用分数指数幂表示a·(a>0)＝________.
答案　(1)－　(2)
解析　(1)原式＝ ＝－.
(2)原式＝ .
三、有理数指数幂的运算性质
例3　(1)＝________.(式中字母均是正数)
答案　
解析　原式＝
＝a－1＝.
(2)计算：.
解　原式＝－－1＋2＝2.
反思感悟　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．
跟踪训练3　(1)；
(2)(x，y>0)．
解　(1)原式＝＝－1－＋＝.
(2)原式＝＝x2y.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质．
(2)根式的概念及性质．
(3)分数指数幂与根式的相互转化．
(4)分数指数幂的运算性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：
(1)对于，当n为偶数时，a≥0.
(2)混淆()n和.
1．()4运算的结果是(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．不确定
答案　A
解析　()4＝2.
2．若a<，则化简的结果是(　　)
A．4a－1 B．1－4a
C．－ D．－
答案　B
解析　∵a<，
∴4a－1<0，
∴＝|4a－1|＝－(4a－1)＝1－4a.
3．在① a2n·an＝a3n；②22×33＝65；③32×32＝81；④a2·a3＝5a；⑤(－a)2·(－a)3＝a5中，计算正确的式子有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
答案　C
解析　①a2n·an＝a3n，正确；②65＝25×35，故22×33≠65，故②错误；③32×32＝9×9＝81，正确；④a2·a3＝a5，故④错误；⑤(－a)2·(－a)3＝(－a)5，故⑤错误．
4．计算：0.25×－4－4÷20－＝______.
答案　－4
解析　原式＝×16－4÷1－－1
＝4－4－4＝－4.
1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案　B
解析　由题意可知∴a≥2且a≠4.
3．化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　＝＝4＝.
4．下列等式一定成立的是(　　)
A． B．
C．(a3)2＝a9 D．
答案　D
解析　同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确．
5．若a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　由题意得＝.
6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝
B.＝(y>0)
C．＝(x>0)
D．(x>0)
答案　BCD
解析　A项错误，－＝－(x≥0)，而＝(x≤0)；
B项正确，＝(y>0)；
C项正确，＝(x>0)；
D项正确，(x>0)．
7．当x<0时，x＋＋＝________.
答案　1
解析　原式＝x＋|x|＋＝x－x＋1＝1.
8．方程3x－1＝的解是________．
答案　x＝－1
解析　3x－1＝＝3－2 x－1＝－2 x＝－1.
9．化简下列各式：
(1)＋；
(2)＋(x≥1)．
解　(1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.
(2)当1≤x<3时，
＋＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋3－x＝2；
当x≥3时，
＋＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋x－3＝2x－4.
所以原式＝
10．(1)化简：(a>0，b>0)；
(2)求值：.
解　(1)
.
(2)
＝1＋×－
＝1＋－
＝.
11．已知m10＝2，则m等于(　　)
A. B．－ C. D．±
答案　D
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.
12．若有意义，则x的取值范围是(　　)
A．R B.∪
C. D.
答案　D
解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
解得x<.
13．化简·的结果为(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　原式=.
14．如果45x＝3,45y＝5，那么2x＋y＝________.
答案　1
解析　由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，∴2x＋y＝1.
15．化简：(＋)2 022·(－)2 022＝________.
答案　1
解析　原式＝[(＋)·(－)]2 022＝12 022＝1.
16．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc.
解　设ax＝by＝cz＝k，
则k>0，a＝，b＝，c＝，
因此abc＝＝k0＝1.

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