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4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
学习目标　1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．
一、无理数指数幂的运算
问题　阅读课本108页的探究，你发现了什么？
提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应．
知识梳理
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R)．
注意点：
特别强调底数a>0，如果a<0，比如，无法判断其值是1还是－1.
例1　计算下列各式的值：
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝23×3＝24.
(2)原式＝＝.
反思感悟　关于无理数指数幂的运算
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．
跟踪训练1　计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)；(2).
解　(1)原式＝＝26·m3＝64m3.
(2)原式＝＝a0＝1.
二、实际问题中的指数运算
例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
答案　4
解析　由题意，得第n次操作后溶液的浓度为n，令n<，验证可得n≥4.
所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
反思感悟　指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．
跟踪训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个．
答案　64
解析　经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)．
三、实数指数幂的综合运用
例3　(1)已知，则x2＋x－2＝_______________.
答案　7
解析　将，两边平方得x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①；②x2－x－2.
解　①设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，即＝3.
②设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
因为n∈R，所以n＝±，
即＝±.
所以x－x－1＝＝±3，
x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
延伸探究　本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值．
解　由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，
所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.
反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
常见的变形公式：
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝，.
跟踪训练3　已知am＝4，an＝3，则的值为(　　)
A. B．6 C. D．2
答案　A
1.知识清单：
(1)无理数指数幂的运算．
(2)实际问题中的指数运算．
(3)实数指数幂的综合运用．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．计算的结果是(　　)
A．π B. C．－π D.
答案　D
2．将化为分数指数幂为(　　)
A． B． C． D．
答案　D
3．已知(x>0)，那么等于(　　)
A. B．－ C．± D．7
答案　A
解析　.
又x>0，故.
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
答案　
解析　∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝＝.
1．已知集合A＝{0,1,2，}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B等于(　　)
A．{0,1,2} B．{0,1，}
C．{2,4} D．{1,2}
答案　D
解析　由题意得B＝{1,2,4,}，又A＝{0,1,2，}，
∴A∩B＝{1,2}．
2．对于a>0，b>0，以下运算正确的是(　　)
A．ar·as＝ars B．(ar)s＝ars
C.r＝arbr D．arbs＝(ab)r＋s
答案　B
解析　根据实数指数幂的运算性质进行判断．
3．下列运算中正确的是(　　)
A． B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－2)0＝1 D．
答案　D
解析　，故A错误；(－a2)3＝－a2×3
＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝4时，(－2)0无意义，故C错误；，故D正确．
4．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　　)
A．2.56厘米 B．5.12厘米
C．10.24厘米 D．20.48厘米
答案　C
解析　0.01×210＝10.24(厘米)．
5．若3a·9b＝，则下列等式正确的是(　　)
A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1
答案　C
解析　∵3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，
∴a＋2b＝－1.
6．(多选)已知a2＋a－2＝3，则a＋a－1等于(　　)
A. B．－ C．1 D．－1
答案　AB
解析　(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝5，
∴a＋a－1＝±.
7．计算：＝________.
答案　7
解析　原式＝2＋4＋1＝7.
8．化简＝________.
答案　1
解析　原式＝.
9．已知x＋x－1＝3(x>0)，求的值．
解　因为x＋x－1＝3，所以x2＋x－2＝7，
所以＝x3＋x－3＋2＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＋2＝3×6＋2＝20，所以.
10．已知a2x＝3，求的值．
解　原式＝＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
11．在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　B
解析　由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“国”字所对应的数字为3.
12．方程的解是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　∵，∴，∴x－1＝－2，
∴x＝－.∴方程的解是x＝－.
13．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10 C．20 D．100
答案　A
解析　由题意得m>0，
∵2a＝m，5b＝m，
∴2＝，5＝，
∵2×5＝，
∴m2＝10，∴m＝.
14．已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.
答案　27
解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
联立①②，
解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27.
15．22k－1－22k＋1＋22k等于(　　)
A．22k B．22k－1
C．－22k－1 D．－22k＋1
答案　C
解析　原式＝22k－1－22×22k－1＋2×22k－1＝(1－4＋2)×22k－1＝－22k－1.
16．已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1，x2(x1(1)求x－x的值；
(2)求的值．
解　由题意知x1＋x2＝8，x1·x2＝4.
(1)∵x1(2)＝＝＝1.

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