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4.2.1　指数函数的概念
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．
导语
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211＝2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223＝8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数．大家可以用这种方式向家长要个零花钱噢，但是周期千万不要太长，有个10天就可以了．
一、指数函数的概念
问题1　阅读课本111页～113页，你有什么样的收获？
提示　由课本问题1中可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题2中的衰减率也是一个常数．函数y＝1.11x(x∈[0，＋∞))与函数y＝(x∈[0，＋∞))的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置．
知识梳理
指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
注意点：
(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
例1　(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　B
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
答案　C
解析　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
解得a>，且a≠1，
即a的取值范围是∪(1，＋∞)
反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
跟踪训练1　(1)下列是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x B．y＝
C．y＝ax D．y＝πx
答案　D
解析　根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数．
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
答案　2
解析　由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
二、求指数函数的解析式或求值
例2　若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为(　　)
A．2 B．－2
C．－2 D．2
答案　D
解析　因为函数f(x)是指数函数，
所以a－3＝1，
所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f ＝＝2.
反思感悟　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
跟踪训练2　指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(2)·f(1)等于(　　)
A．－3 B．9
C．27 D．81
答案　C
解析　由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝3，函数的解析式为y＝3x，f(2)·f(1)＝32×31＝27.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
问题2　将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
提示　
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝2
x＝3 y＝8＝23 S＝＝3
… … …
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝x(x∈N*)．
知识梳理
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0例3　(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A．640 B．1 280
C．2 560 D．5 120
答案　B
延伸探究　将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数．
解　设原来的细菌数为a，由题意可得，
当t＝1时，y＝3a，所以3a＝10ek，即ek＝.
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水．现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数．假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有升，必须再经过(　　)
A．12分钟 B．15分钟
C．20分钟 D．25分钟
答案　B
反思感悟　关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题．
跟踪训练3　随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(　　)
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
答案　B
解析　设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
根据题意可得y＝3 000×1.06x，从2018到2025年共经过了7年，
所以2025年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．
1．知识清单：
(1)指数函数的定义．
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－4)x B．y＝－4x
C．y＝3x－1 D．y＝x
答案　D
解析　A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数．
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或2 B．－1
C．2 D.
答案　C
解析　依题意，有
解得m＝2(m＝－1舍去)．
3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为(　　)
A．(1－0.1250)m B．
C．0.9250m D．
答案　B
解析　设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
∴1－a＝，
由2017年的耕地面积为m，
得2022年的耕地面积为(1－a)5m＝.
4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝ ________.
答案　()x
解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则由f(2)＝a2＝2，得a＝，
所以f(x)＝()x.
1．下列函数是指数函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝(－8)x
C．y＝2x－1 D．y＝x2
答案　A
解析　对于A，函数y＝x中，a＝>1，是指数函数；对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；对于C，函数y＝2x－1＝·2x，不是指数函数；对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数．
2．若指数函数f(x)的图象过点(4,81)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
答案　B
解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　)
A．8 B. C．4 D．2
答案　D
解析　∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
4．一种产品的成品是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0A．y＝a(1＋p%)x(0B．y＝a(1－p%)x(0C．y＝a(p%)x(0D．y＝a－(p%)x(0答案　B
解析　∵产品的成品是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)；2年后，成本为a(1－p%)－a(1－p%)·p%＝a(1－p%)2；…，
∴x年后，成本y＝a(1－p%)x(05．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
答案　C
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．
6．(多选)若函数f(x)＝(m2－2m－2)ax是指数函数，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3 C．－1 D．1
答案　BC
解析　∵函数f(x)＝(m2－2m－2)ax是指数函数，
∴m2－2m－2＝1，
解得m＝3或－1.
7．若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2)∪(2，＋∞)
解析　∵函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，∴解得a>1且a≠2，∴实数a的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
8．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
答案　
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.
9．某林区某年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的解析式，并写出此函数的定义域．
解　由题意得，
经过1年后，木材蓄积量y1＝200(1＋5%)＝200×1.05，
经过2年后，木材蓄积量y2＝200×1.05×(1＋5%)＝200×1.052，
经过x年后，木材蓄积量y＝200×1.05x.
定义域为N*.
10．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解　(1)由可得a＝2，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝f(x)－f(－x)是奇函数，证明如下：
F(x)＝2x－2－x，定义域为R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
11．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{1} C．{－1} D．{0,1}
答案　B
解析　因为A＝{－1,0,1}，所以B＝，
因此A∩B＝{1}．
12．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于(　　)
A．－2x B．2－x C．－2－x D．2x
答案　C
解析　当x<0时，f(x)＝2x，
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝2－x.
又f(x)是R上的奇函数，
所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
13．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f(x)的一个可能的解析式为____________．
答案　f(x)＝2×4x
解析　由题意，得＝4，＝42，…，＝4x，
∴f(x)＝2×4x.
14．某工厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为______万元．
答案　a(1＋7%)4
解析　2018年产值为a，增长率为7%；
2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)；
2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%＝a(1＋7%)2(万元)；
……；
2022年的产值为a(1＋7%)4万元．
15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
16．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
解　因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)，
所以解得
所以y＝100x，
所以当x＝10时，y＝100×10＝64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.

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