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4.3.1　对数的概念
学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
导语
大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的．经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！
一、对数的概念
问题1　我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若x＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．
知识梳理
对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换．
(2)logaN的读法：以a为底N的对数．
例1　若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　要使对数式log(t－2)3有意义，
需
解得t>2，且t≠3.
所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．
反思感悟　关于对数式的范围
利用式子logab 求字母的范围．
跟踪训练1　在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
答案　B
解析　由对数的概念可得
解得34.
二、对数与指数的互相转化
问题2　现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.
知识梳理
两类特殊对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
例2　将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；　(2)；
(3)ln 10＝2.303；　(4)43＝64；
(5)3－2＝；　(6)10－3＝0.001.
解　(1)24＝16.
(2)－3＝27.
(3)e2.303＝10.
(4)log464＝3.
(5)log3＝－2.
(6)lg 0.001＝－3.
反思感悟　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练2　下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．与
C．log39＝与
D．log55＝1与51＝5
答案　C
解析　因为化为对数式应为log93＝，故C不正确．
三、对数的计算
问题3　你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示　log21＝0；log22＝1；＝x.
知识梳理
对数的性质
(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．
(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
(3)0和负数没有对数．
(4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
例3　求下列各式的值．
①log981＝________.
②log0.41＝________.
③ln e2＝________.
答案　①2　②0　③2
解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
反思感悟　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
跟踪训练3　求下列各式的值：
(1)log28；(2)log9；(3)ln e；(4)lg 1.
解　(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，
∴x＝－1.∴log9＝－1.
(3)ln e＝1.
(4)lg 1＝0.
四、利用对数性质求值
例4　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)；(4)log27x＝－；(5)logx16＝－4.
解　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3).
(4)由log27x＝－，得
＝3－2＝.
(5)由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝4，
又x>0，且x≠1，∴x＝.
延伸探究　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值．
解　因为log2(log5x)＝1，
所以log5x＝2，
则x＝52＝25.
反思感悟　利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
跟踪训练4　求下列各式中x的值．
(1)；(2)logx49＝4；(3)lg 0.000 01＝x；(4)ln ＝－x；(5)log8[log7(log2x)]＝0；
(6)log2[log3(log2x)]＝1.
解　(1)x＝－3＝27.
(2)由x4＝49，x＞0且x≠1，得x＝.
(3)由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
(4)由e－x＝＝，得x＝－.
(5)由log8[log7(log2x)]＝0，
得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
(6)由log2[log3(log2x)]＝1，
得log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，5)
B．(－3,5)
C．(－3，－2)∪(－2,5)
D．(－3，＋∞)
答案　C
解析　要使对数log(a＋3)(5－a)有意义，
则解得a∈(－3，－2)∪(－2,5)．
2．2－3＝化为对数式为(　　)
A． B．
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
答案　C
解析　根据对数的定义知选C.
3．已知＝c，则有(　　)
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
答案　B
解析　由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b.
4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.
答案　0
解析　原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
1．logab＝1成立的条件是(　　)
A．a＝b B．a＝b且b>0
C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1
答案　D
解析　由logab＝1得，
a>0且a＝b≠1.
2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．a>且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
答案　B
解析　由题意知解得03．已知logx16＝2，则x等于(　　)
A．4 B．±4 C．256 D．2
答案　A
解析　由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，
又x>0，且x≠1，∴x＝4.
4．已知，则x等于(　　)
A．－8 B．8 C．4 D．－4
答案　B
解析　由题意得()x＝81，即＝34，则x＝8.
5．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①② B．②③④
C．② D．②③
答案　C
解析　①中，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中，M与N也可能互为相反数；④中，当M＝N＝0时不正确．
6．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
答案　AB
解析　A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
B项，lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
C项，若lg x＝10，则x＝1010，故C错误；
D项，若ln x＝e，则x＝ee，故D错误．
7．若a＝log23，则2a＋2－a＝________.
答案　
解析　∵a＝log23，∴2a＝＝3，
∴2a＋2－a＝2a＋＝3＋＝.
8．若，则x＝________.
答案　
解析　由题意得，
∴，
∴x＝3＝.
9．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；(2)2－5＝；
(3)；(4)log2128＝7.
解　(1)log3243＝5.
(2)log2＝－5.
(3)－4＝81.
(4)27＝128.
10．若，＝m＋2，求的值．
解　∵，
∴m＝x，x2＝2m.
∵＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
11．若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
答案　B
解析　由题意得＝xz，
∴y＝(xz)7＝x7z.
12．化简等于(　　)
A．14 B．0 C．1 D．6
答案　B
解析　原式＝＝4－32－(－2)＋3＝0.
13．设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是(　　)
A．128 B．16 C．8 D．256
答案　B
解析　由log2x＝2可知x＝4，
所以f(2)＝24＝16.
14．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．
答案　
解析　∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，
∴10b＝3.∴＝＝.
15．若a>0，＝，则等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　因为＝，a>0，
所以a＝＝3，
设，所以x＝a，
所以x＝3.
16．若 ，试确定x，y，z的大小关系．
解　由＝0，
得＝1，log3y＝，.
由，
得，log2x＝，.
由，
得，log5z＝，，
∵310>215>56，
∴y>x>z.

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