资源简介

4.4.1　对数函数的概念
学习目标　1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
导语
通过前面的学习，我们知道了“对数源出于指数”，然而对数的发明先于指数，对数的出现是基于当时天文、航海等发展的需要，大家知道，我国在探索太空、大洋等方面取得了很大的成就，比如2020年11月24日，我国成功发射嫦娥五号探测器，12月17日凌晨嫦娥五号携带月球土壤样品安全着陆，大家知道吗？指挥本次月球探索的是一位24岁的小姑娘，同学们好好学习吧，说不定下一个指挥探索别的星球的人就是你哦．
一、对数函数的概念及应用
问题　我想问一下同学们，今天你向家长要零花钱了吗？构造向家长要零花钱的函数y＝2x.
x 1 2 3 … 10 …
y 2 4 8 … 1 024 … 1 048 576 1 073 741 824
在学习指数函数时，我们想知道的是，第几天我们能获得多少零花钱，而现在，我们知道的是，当你获得1 024元的时候，是在第10天，同学们可以大胆猜测一下，你在第几天可以获得1 048 576元和1 073 741 824元？
提示　根据指数与对数的相互转化，我们知道y＝2x可以化为x＝log2y，根据对数的运算，我们便可得到是在第20天和30天获得上述钱数．
知识梳理
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注意点：
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数与指数函数的范围相同．
(4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等．
例1　(1)给出下列函数：
①；②y＝log3(x－1)；
③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　A
解析　只有④满足对数函数的定义．
(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f ＝________.
答案　－5
解析　设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，
∴f ＝log2＝log22－5＝－5.
反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1　(1)下列函数是对数函数的是______(填序号)．
①y＝loga(5＋x)(a>0且a≠1)；②；
③y＝log3(－x)；④y＝logx(x>0且x≠1)．
答案　②
解析　①和③中自变量不是x，所以不是对数函数，④中底数是x，不是常数；②符合对数函数的特征，所以是对数函数．
(2)已知函数f(x)是对数函数，且f ＝－，则f(2)＝________.
答案　
解析　设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为f ＝－，所以a＝2，f(x)＝log2x，
所以f(2)＝.
二、求函数的定义域
例2　函数y＝lg 的定义域为________．
答案　(－1,1)
解析　因为y＝lg ，所以>0，解得－1所以函数的定义域为(－1,1)．
延伸探究　在本例中将函数的解析式变为y＝log(3x－1)，试求函数的定义域．
解　由
解得所以函数的定义域为∪.
反思感悟　求对数型函数的定义域需注意：
(1)真数大于0.
(2)对数出现在分母上时，真数不能为1.
(3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1.
跟踪训练2　函数f(x)＝＋的定义域为________________．
答案　(－1,0)∪(0,3]
解析　由解得－1所以函数f(x)＝＋的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
三、对数函数模型的应用
例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解　(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
反思感悟　利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
跟踪训练3　我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(　　)
(参考数据：100.2≈1.58)
A．1 559 B．3 943 C．1 579 D．2 512
答案　C
解析　由题意得≈60%，
则≈1.6,1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，
∴λ≈1 579.
1．知识清单：
(1)对数函数的概念和定义域．
(2)对数函数模型的简单应用．
2．方法归纳：待定系数法，转化法．
3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
答案　A
解析　由对数函数的特征可得只有A选项符合．
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案　B
解析　由x－1>0，得x>1.
3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
答案　A
解析　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，
则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
4．对数函数f(x)过点(9,2)，则f ＝________.
答案　－1
解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，∵loga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝log3x，
∴f ＝log3＝－1.
1．函数y＝log(a－3)(7－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，7) B．(3,7)
C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)
答案　C
解析　由得32．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
A．y＝logex B．
C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1)
答案　AB
解析　A，B项中的函数是对数函数；C，D项中的真数不是x，故不是对数函数．
3．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1答案　C
解析　∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－14．已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x B．y＝log3x
C． D．
答案　C
解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
∵对数函数的图象过点M(9，－2)，∴loga9＝－2，
即a－2＝9，解得a＝.∴f(x)＝.
5．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　)
A．lg 101 B．1
C．2 D．0
答案　C
解析　f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.
6．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
A．y＝log1.05x B．y＝log1.005x
C．y＝log0.95x D．y＝log0.995x
答案　B
解析　由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.
7．函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.
答案　3
解析　依题意有解得a＝3.
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
答案　128
解析　由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128.
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝log(3x－1)5；
(3)y＝.
解　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，
解得x<1，
所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需
解得x>，且x≠，
所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是
.
(3)要使函数式有意义，需
解得x<4，且x≠3，
所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
10．已知函数f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解　(1)依题意有解得－1故函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．
因为f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
11．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
答案　C
解析　要使函数有意义，则
解得x>2，且x≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
12．下列函数相等的是(　　)
A．y＝log3x2与y＝2log3x
B．y＝lg 10x与y＝10lg x
C．y＝log3x2与y＝2log3|x|
D．y＝lg x与y＝ln x
答案　C
解析　由函数的三要素可知，只有C成立．
13．设f(x)是对数函数，且f()＝－，那么f()等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)．
由f()＝－，解得a＝，∴f(x)＝.
∴.
14．函数f(x)＝lg的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
答案　[0,3)
解析　依题意，得2kx2－kx＋>0的解集为R，
即不等式2kx2－kx＋>0恒成立，
当k＝0时，>0恒成立，∴k＝0满足条件；
当k≠0时，则
解得0综上，k的取值范围是[0,3)．
15．设函数f(x)＝f lg x＋1，则f(10)的值是(　　)
A．1 B．－1
C．10 D.
答案　A
解析　∵f(x)＝f lg x＋1，将式中x换成，
∴f ＝f(x)lg ＋1＝－f(x)lg x＋1.
由以上两式，得f(x)＝，
∴f(10)＝＝1.
16．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
解　设t(x)＝3－ax，
∵a>0，且a≠1，
∴t(x)＝3－ax为减函数，
则当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，∴a<.
又a>0且a≠1，∴0∴实数a的取值范围为(0,1)∪.

展开更多......

收起↑