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4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
导语
同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，人类的祖先，从数手指开始，逐渐积累经验，堆石子、数贝壳、树枝、竹片，而后有刻痕计数、结绳计数等，后来创造文字、数字及计数用具，如算盘、计算器等．从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，再多的手指头也算不过来了，怎么办？比如天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用．
一、对数的运算性质
问题1　将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)
提示　由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.
由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(M·N)．
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．
问题2　结合问题1，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示　将指数式＝ap－q化为对数式，得
loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)．
问题3　结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？
提示　由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)．
知识梳理
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
注意点：
(1)性质的逆运算仍然成立．
(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义．
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.
例1　求下列各式的值．
(1)ln e2；(2)log3e＋log3；(3)lg 50－lg 5.
解　(1)ln e2＝2ln e＝2.
(2)log3e＋log3＝log3＝log33＝1.
(3)lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
反思感悟　对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；
(4)log35－log315.
解　(1)方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1.
(3)ln 3＋ln ＝ln＝ln 1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.
二、对数运算性质的运用
例2　已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg ＝_________.
答案　b＋3a－1
解析　lg ＝lg 12－lg 5＝lg(3×22)－(1－lg 2)
＝lg 3＋lg 22－1＋lg 2
＝lg 3＋3lg 2－1＝b＋3a－1.
跟踪训练2　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
解　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg ＝lg x＋lg y3－
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg(y2z)＝－(lg y2＋lg z)
＝lg x－2lg y－lg z.
三、利用对数的运算性质化简、求值
例3　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
反思感悟　利用对数运算性质化简求值
(1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式的逆用；
(2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用；
(3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简．
跟踪训练3　计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)方法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－××lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
方法二　原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg(·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
1．知识清单：
(1)对数的运算性质．
(2)对数运算性质的运用．
(3)利用对数的运算性质化简、求值．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则．
1．若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；
②(logax)n＝logaxn；
③logax＝－loga；
④＝logax；
⑤＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　A
解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确．
2．2log510＋log50.25等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　C
解析　原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　　)
A．a－b2 B．a－2b
C. D.
答案　B
解析　∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b.
4.＝________.
答案　2
解析　原式＝＝＝2.
1．log242＋log243＋log244等于(　　)
A．1 B．2
C．24 D.
答案　A
解析　原式＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
2．已知3a＝2，那么log38－2log36用a表示是(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2
答案　A
解析　因为3a＝2，所以a＝log32，
所以log38－2log36＝log323－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
3．计算lg 2－lg －eln 2等于(　　)
A．－1 B. C．3 D．－5
答案　A
解析　原式＝lg－2＝－1.
4．下列计算正确的是(　　)
A．(a3)2＝a9 B．log26－log23＝1
C． D．log3(－4)2＝2log3(－4)
答案　B
解析　由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，＝a0＝1，所以A，C不正确；
由对数的运算性质，可得log26－log23＝log2＝log22＝1，所以B正确；
根据对数的化简，可得log3(－4)2＝2log3(－4)，而log3(－4)无意义，所以D不正确．
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A．2 B. C．100 D.
答案　C
解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，
∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，
∴lg(ab)＝2，
∴ab＝100.
6．(多选)已知f(x)＝log5x，则对任意的a，b∈(0，＋∞)，下列关系成立的是(　　)
A．f(ab)＝f(a)＋f(b)
B．f(ab)＝f(a)f(b)
C．f ＝f(a)＋f(b)
D．f ＝f(a)－f(b)
答案　AD
解析　∵f(x)＝log5x，a，b∈(0，＋∞)，
∴f(ab)＝log5(ab)＝log5a＋log5b＝f(a)＋f(b)，
f ＝log5＝log5a－log5b＝f(a)－f(b)．
7．lg ＋lg 的值是________．
答案　1
解析　原式＝lg ＝lg 10＝1.
8．设alog34＝2，则4－a＝__________.
答案　
解析　因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，
则4－a＝＝.
9．已知lg 2＝m，lg 3＝n，试用m，n表示.
解　∵lg 2＝m，lg 3＝n，∴＝＝＝.
10．计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋；
(2)2log32－log3＋log38－.
解　(1)原式＝＋lg(25×4)＋2＝＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
11．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根为α，β，则α·β的值是(　　)
A. B．lg 35
C．lg 7·lg 5 D．35
答案　A
解析　由题意知，lg α，lg β是一元二次方程x2＋(lg 7＋lg 5)x＋lg 7·lg 5＝0的两根，
依据根与系数的关系得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)，lg(α·β)＝lg(7×5)－1，∴α·β＝.
12．已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是(　　)
A．1 B．3 C. D.
答案　D
解析　由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2－x＝3＋＝.
13．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以，即logx(abc)＝.
14．若x满足(log2x)2－log2x2－3＝0，则x＝______.
答案　8或
解析　由题意，方程可化为(log2x)2－2log2x－3＝0.
令t＝log2x，则t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，
即log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
15．已知函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(4＋x)，若f(1)＝6，则f(log2128)＋f(log216)等于(　　)
A．6 B．0 C．－6 D．－12
答案　C
解析　因为函数f(x)的定义域为R且满足f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－6，
故f(7)＝f(4＋3)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－6，f(4)＝f(0)＝0，
所以f(log2128)＋f(log216)＝f(log227)＋f(log224)＝f(7)＋f(4)＝－6＋0＝－6.
16．已知lg 2＝a，lg 3＝b.
(1)求lg 72，lg 4.5；
(2)若lg x＝a＋b－2，求x的值．
解　(1)lg 72＝lg(23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b；
lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a.
(2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2
＝lg 2＋lg 3＋lg ＝lg ，
所以x＝＝0.06.第2课时　换底公式
学习目标　1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
一、对数的换底公式
问题1　上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？
提示　设log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log93＝ .
问题2　是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？说出你的理由．
提示　依据当a>0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出．
令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，
∴x＝logab，∴logab＝.
知识梳理
1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2) (a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
注意点：
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义．
(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解　(1)原式＝
＝·＝×＝.
(2)方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝.
延伸探究　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示)．
解　因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝
＝＝
＝＝
＝＝.
反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1　(1)的值是(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案　A
解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
即＝＝·＝.
方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
即＝＝＝.
(2)计算：.
解　原式＝×
＝－×log32×3log23＝－.
二、对数运算性质的综合运用
例2　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解　(1)方法一　由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
跟踪训练2　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
解　∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，
即c＝(负值舍去)．
三、实际问题中的对数运算
例3　某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　C
解析　设至少需要过滤n次，
则0.02×n＝0.001，即n＝.
所以nlg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝＝≈7.4.
又n∈N，所以n≥8.
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．
反思感悟　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．
跟踪训练3　标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况．而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　)
A．10－37 B．10－36 C．10－35 D．10－34
答案　B
解析　根据题意，对取常用对数得lg＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近．
1．知识清单：
(1)换底公式．
(2)对数的实际应用．
2．方法归纳：换底公式、转化法．
3．常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆．
1．－＋log23×log34的值为(　　)
A. B.
C．1 D.
答案　D
解析　原式＝－＋×
＝－＋×＝.
2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A．3 B．8
C．4 D．log48
答案　A
解析　由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.
3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　log36＝＝＝.
4．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是______________________________________．
答案　2
解析　因为2a＝5b＝M，且＋＝2，
所以a＝log2M，b＝log5M，所以＝logM2，＝logM5，
所以＋＝logM4＋logM5＝logM20＝2，所以M2＝20，
又M>0，所以M＝2.
1．化简得log832的值为(　　)
A. B．2 C．4 D.
答案　D
解析　log832＝＝＝.
2．log29×log34等于(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　D
解析　方法一　原式＝×＝＝4.
方法二　原式＝2log23×＝2×2＝4.
3．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案　D
解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)．故选D.
4．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)
A．a＝bc B．b2＝ac
C．c＝ab D．c2＝ab
答案　C
解析　由题意，令log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab.
5.等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3 C. D．－
答案　C
解析　原式=
.
6．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有(　　)
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
答案　AB
解析　由题意知，a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；
＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；
＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确．
7．若ln 3＝a，则log9e＝________.
答案　
解析　因为ln 3＝a，则ea＝3，所以log9e＝＝＝.
8．设log23·log36·log6m＝log4(2m＋8)，则实数m＝________.
答案　4
解析　左边＝××＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2(负值舍去)．
9．计算下列各式的值：
(1)；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
解　(1)原式＝log535＋log550－log514＋
＝log5＋
＝log553－1＝2.
(2)方法一　原式＝
＝
＝log25·3log52＝13log25·＝13.
方法二　原式＝
＝
＝＝13.
10．设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
证明　设xa＝yb＝zc＝k，k>0，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.
因为＋＝，所以＋＝，即logkx＋logky＝logkz.
所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
11．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
答案　C
解析　∵log83＝＝＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝.
12．若＝log35，则5m＋5－m的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由于＝log35，所以m＝log53，
.
13．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.
∴＝，
两边取常用对数，可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88.
∴＝10－1.88≈.
14．已知a＝，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示)．
答案　
解析　由a＝，得a＝log73，
又b＝log74，
∴log4948＝＝＝
＝.
15．已知函数f(x)＝ln(－x)＋2，则f(lg 5)＋f 等于(　　)
A．4 B．0 C．1 D．2
答案　A
解析　∵f(x)＝ln(－x)＋2，∴f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋2＋ln(＋x)＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋f ＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4.
16．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
解　由换底公式，
得logax＋－＝3(a>1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以y＝at2－3t＋3(t≠0)．

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