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5．1.2　弧度制
学习目标　1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式．
导语
同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵．而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变．
一、弧度制的概念
问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？
提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值．为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制．
知识梳理
1．弧度制
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么＝.
3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
注意点：
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
例1　下列各命题中，真命题是(　　)
A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度等于半径的弧
C．1弧度是1°的弧与1°的角之和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
答案　D
解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．
反思感悟　(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
跟踪训练1　下列说法正确的是(　　)
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
答案　A
解析　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．
二、角度制与弧度制的相互转化
问题2　根据公式|α|＝，你能得出圆周角的弧度数吗？
提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系．
知识梳理
角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注意点：
(1)弧度单位rad可以省略．
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.
解　(1)72°＝72×＝.
(2)－300°＝－300×＝－.
(3)2＝2×°＝°.
(4)－＝－×°＝－40°.
反思感悟　角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．一般情况下，省略弧度单位rad.
跟踪训练2　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
解　α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝，
∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ.
三、利用弧度表示角
例3　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解　－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋，
其中<<2π，所以是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角．
延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合．
解　依题意得，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，
由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，
知k＝－2，－1,0,1，
所以所求角的集合为.
反思感悟　用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)______________________ __．
答案　
解析　结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是
.
四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式
问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
提示　初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝.
知识梳理
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形的面积公式：S＝lR＝αR2.
例4　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8(rad)>2π rad，舍去．
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
延伸探究　已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，
所以S＝l·r＝×(4－2r)×r＝
－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2(rad)．
反思感悟　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练4　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解　已知扇形的圆心角α＝60°＝，
半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
面积S＝lr＝××10＝(cm2)．
1．知识清单：
(1)弧度制的概念．
(2)弧度制与角度制的相互转化．
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系．
(4)扇形的弧长与面积的计算．
2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算．
3．常见误区：弧度与角度混用．
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案　ABC
解析　根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
2．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
3．时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B．－ rad C. rad D．－ rad
答案　B
解析　时针经过一小时，转过－30°，
－30°＝－ rad.
4．周长为9，圆心角为1 rad的扇形的面积为_______________________________________．
答案　
解析　设扇形的半径为r，弧长为l，
由题意可知所以
所以S＝lr＝.
1．下列命题中，假命题是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　D
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题．
2．角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角．
3．集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
4．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
答案　D
解析　－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π.
5．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)
A. B. C．9π D．10π
答案　B
解析　l＝αR＝200××1＝.
6．(多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限的角的集合为
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
答案　ABC
解析　A，B显然正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；
对于D，终边在y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确．
7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．
答案　2
解析　∵S＝lR＝1，又l＝2，
∴R＝1，
∴α＝＝＝2.
8．亲爱的考生，本场考试需要2个小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为________．
答案　－
解析　由题意知×2π＝，
因为是顺时针，故钟表的时针转过的弧度数为－.
9．已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－4π，0]上找出与角α终边相同的角．
解　(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
所以角α与的终边相同，
又<<π，
所以角α是第二象限角．
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋≤0，得－≤k≤－.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.
当k＝－2时，2×(－2)π＋＝－；
当k＝－1时，2×(－1)π＋＝－，
故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－.
10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
解　(1)根据题意，可算得＝θx(m)，
＝10θ(m)．
因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝(0＜x＜10)．
(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋，
当x＝(m)时，ymax＝(m2)．
综上所述，当x＝ m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2.
11.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为＝，
当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×＝；
但当分针指向2时，时针由10向11移动了×＝，
故该时刻的时针与分针所夹的钝角为－＝.
12．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
答案　D
解析　因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，
β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，
所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．
因为k1∈Z，k2∈Z，
所以k1－k2∈Z.
所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
13．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π＝.
14．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
答案　
解析　如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，
∴弧长l＝R，
∴α＝＝＝.
15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2)．
答案　9
解析　＝120°，根据题意得，
弦＝2×4sin ＝4(m)，
矢＝4－2＝2(m)，
因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．
16．已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．
解　(1)由题意，可得2r＋αr＝C，即αr＝C－2r，
则扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr＝－2＋C2，
故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.
(2)由题意，可得S＝αr2，
即αr＝，
则扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，
当且仅当2r＝，
即r＝时取等号，
故当r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.

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