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5.2.1　三角函数的概念
学习目标　1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号．
导语
游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课．
一、三角函数的概念
问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样定义的？
提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边．
问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？
提示　有交点，交点唯一．
知识梳理
任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α
余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α
正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
注意点：
(1)三角函数值是比值，是一个实数．
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．
(3)推广：已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
例1　(教材178页例1改编)求的正弦、余弦和正切值．
解　在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝－.
反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
跟踪训练1　(1)(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－，则x的值为(　　)
A．－ B．－1 C．1 D.
答案　BC
解析　|OP|＝，
∵sin α＝＝＝－，
解得x2＝1，∴x＝±1.
(2)在(1)中，将“sin α＝－”改为“cos α＝－”，求x的值．
解　|OP|＝，
∵cos α＝＝＝－，
解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号
问题3　根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号．
提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号导出的．根据三角函数的定义可知，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负．
知识梳理
正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例2　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．
综上可知，α是第三象限角．
(2)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　)
A．sin(－100°) B．cos(－220°)
C．tan 10 D．cos π
答案　ABD
解析　－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0；cos π＝－1<0.
反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练2　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限，
∴∴α为第三象限角．
三、公式一
问题4　终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等．
知识梳理
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
即
sin α＋k·2π ＝sin α， cos α＋k·2π ＝cos α， tan α＋k·2π ＝tan α， 其中k∈Z.
例3　计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos tan 4π.
解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)．
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
跟踪训练3　计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin ＋tan.
解　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sin＋tan
＝sin ＋tan ＝＋1.
1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法．
(2)三角函数值在各象限内的符号．
(3)诱导公式一．
2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.
1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设交点坐标为P(x，y)，
则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，
故点P.
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　D
解析　设点P(－4,3)，则|OP|＝＝5，
故cos α＝＝－.
3．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　AC
解析　因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限．
4．计算：sin ＋cos＋tan ＝ .
答案　2
解析　原式＝sin＋cos＋tan
＝sin ＋cos ＋tan
＝＋＋1
＝2.
1．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α－cos α等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　由三角函数的定义得cos α＝－，sin α＝－，因此sin α－cos α＝－.
2．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ一正一负，
又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，
综上有sin θ<0，cos θ>0，
即θ为第四象限角．
3．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　由三角函数定义知＝tan 60°＝.
4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　由诱导公式一可得，
sin(－330°)cos 390°＝sin(－360°＋30°)cos(360°＋30°)＝sin 30°×cos 30°
＝×＝.
5．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(　　)
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
答案　D
解析　因为cos α＝－<0，所以x<0，
又r＝，则＝－，
解得x＝－2(x＝2舍去)．
6．(多选)下列函数值的符号为正的是(　　)
A．sin 105° B．cos 325°
C．tan D．tan
答案　ABD
解析　∵105°为第二象限角，∴sin 105°>0；
∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0；
∵∈，∴为第二象限角，∴tan <0；
∵∈，∴为第三象限角，∴tan >0.
7．已知角θ终边上一点P的坐标为(cos 60°，－sin 60°)，则tan θ＝ .
答案　－
解析　由题意知tan θ＝＝＝＝－.
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－2,3]
解析　由cos α≤0，sin α>0，可知
解得－29．化简下列各式：
(1)sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan ；
(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
解　(1)原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝，
又因为cos θ＝x，
所以＝x.
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3；
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
11．式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为(　　)
A．正 B．负 C．零 D．不能确定
答案　B
解析　∵1,2,4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，∴sin 1·cos 2·tan 4<0.
12．(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则(　　)
A．P(4，－12) B．sin θ＝－
C．cos θ＝－ D．tan θ＝－
答案　BD
解析　因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝
－12，即P(5，－12)，sin θ＝＝－，cos θ＝＝，tan θ＝－.
13．函数y＝＋＋的值域是(　　)
A．{－1,0,1,3} B．{－1,0,3}
C．{－1,3} D．{－1,1}
答案　C
解析　依题意，知角x的终边不在坐标轴上，
当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3；
当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；
当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；
当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，
综上，函数的值域为{－1,3}．
14．－300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m＋n＝ .
答案　
解析　由三角函数的定义知m＝cos(－300°)
＝cos(－360°＋60°)＝cos 60°＝.
n＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin 60°＝.
∴m＋n＝.
15．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是(　　)
A．sin 2α>0 B．cos 2α>0
C．cos >0 D．tan >0
答案　AD
解析　由α是第一象限角，2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0，cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．
16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解　(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，
从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝－.

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