资源简介

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
学习目标　1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题．
导语
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数．
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．
问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示　如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)．
问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？
提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象．
知识梳理
1．正弦函数的图象叫做正弦曲线．
函数 y＝sin x，x∈R
图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线．
函数 y＝cos x，x∈R
图象
例1　下列叙述正确的个数为(　　)
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(略)，由图象观察可知①，②，③均正确．
反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　)
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
答案　A
解析　由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．
二、“五点(画图)法”画函数的图象
问题4　如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？
提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
知识梳理
“五点(画图)法”
函数 y＝sin x y＝cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0)，， (π，0)，，(2π，0) (0,1)，， (π，－1)，， (2π，1)
例2　用“五点法”作下列函数的图象：
(1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝cos x＋，x∈[－π，π]．
解　(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－2sin x 1 －1 1 3 1
描点连线，画图如下．
(2)列表：
x －π － 0 π
cos x －1 0 1 0 －1
cos x＋ － －
描点连线，画图如下．
反思感悟　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2　用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：
(1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x.
解　列表：
x －π － 0 π
－sin x 0 1 0 －1 0
2－cos x 3 2 1 2 3
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3　不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.
在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象，如图，
由函数的图象知，sin ＝sin ＝.
所以根据图象可知，sin x≥的解集为.
延伸探究
1．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
解　在x∈[0,2π]上的解集为.
所以x∈R时，不等式的解集为
.
2．试求关于x的不等式解　在同一坐标系下作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象和直线y＝和y＝的图象，如图所示．
由图可知，在[0,2π]上，当.
反思感悟　利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象．
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值．
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集．
跟踪训练3　方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________．
答案　2　0
解析　作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.
1.知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的图象．
(2)“五点法”作图．
(3)函数图象的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象．
1．已知点在余弦曲线上，则m等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　因为点在余弦函数y＝cos x的图象上，所以m＝cos ＝－，
故选B.
2．用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　)
A．0，，，，π B．0，，π，，2π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
答案　B
解析　所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.
3．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是(　　)
A．(0，π) B.
C. D.
答案　C
解析　画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
当sin x＝－时，x＝或x＝，
可知不等式sin x<－在[0,2π]上的解集是.
4．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为____________________．
答案　，
解析　由解得cos x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝或，
∴交点坐标为，.
1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
答案　B
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
2．利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象时，第三个点为(　　)
A．(0，－1) B. C．(π，－1) D.
答案　C
3．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，
数形结合可知，只有1个交点．
4．在[0,2π]上，函数y＝的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是.
5．设0≤x≤2π，使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为0≤x≤2π，由正弦曲线得sin x≥时，x∈，
由余弦曲线得cos x＜时，x∈，
因为∩＝，
所以使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是.
6．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　AC
解析　在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和.
7．已知余弦函数过点，则m的值为______．
答案　
解析　设余弦函数为y＝cos x，
由函数过点，可得m＝cos＝.
8．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．(用“＜”连接)
答案　a＜c＜b
解析　函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点转化为y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象的交点的横坐标，因为零点分别为a，b，c，
在同一坐标系中画出y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象如图，
可知a＜0，b＞0，c＝0，
满足a＜c＜b.
9．画出下列函数的简图：
(1)y＝1－sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝3cos x＋1，x∈[0,2π]．
解　(1)列表：
x 0 π 2π
1－sin x 1 0 1 2 1
描点连线，画图如下．
(2)列表：
x 0 π 2π
3cos x＋1 4 1 －2 1 4
描点连线，画图如下．
10．分别作出函数y＝|sin x|和y＝sin |x|，x∈[－2π,2π]的图象．
解　y＝|sin x|的图象为将y＝sin x在x轴下方的图象沿x轴翻折所得；
y＝sin |x|的图象为y＝sin x在y轴右侧的图象不变，再将y轴右侧的图象沿y轴翻折所得．
11．函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．不确定
答案　C
解析　在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数的交点个数为3.
12．关于函数f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　　)
A．当t<0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或≤t≤2时，有1个交点
C．当0D．当0答案　B
解析　在同一个坐标系内作出f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t的图象如图所示：
根据图象，进行判断：
对于A，当t＝2时，有1个交点，故A错误；
对于B，当t＝0或≤t≤2时，有1个交点，故B正确；
对于C，当013.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cos x<0的解集是________．
答案 　∪
解析 　由题意知或
可得
或
所以f(x)cos x<0的解集为∪.
14．不等式－≤cos x≤的解集是________．
答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋或2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z}
解析　在内，直线y＝－，y＝与函数y＝cos x的图象的交点的横坐标分别为，－，，－，
所以满足不等式－≤cos x≤的解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋或2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z}．
15．函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案　4π
解析　如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
16．求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数．
解　由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，
得sin x＋2|sin x|＝|log2x|.
令f(x)＝sin x＋2|sin x|
＝k∈Z，
g(x)＝|log2x|，
在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解．

展开更多......

收起↑